数学竞赛平面几何重要知识点
梅涅劳斯定理：
设D、E、F分别是?ABC三边（或其延长线）上的三点，则D、E、F三点共线的充要条件是
ADBFCE???1。 DBFCEA
斯德瓦特定理：设P是?ABC的边BC边上的任一点，则
BP?AC2?PC?AB2?BC?AP2?BP?PC?BC
西摩松定理：
设P是?ABC外接圆上任一点，过P向?ABC的三边分别作垂线，设垂足为D、E、F，则D、E、F三点共线。
6、共角定理：设?ABC和?A?B?C?中有一个角相等或互补（不妨设A=A?）则
S?ABCAB?AC ?S?A?B?C?A?B??A?C?与圆有关的重要定理 4.四点共圆的主要判定定理
（1）若∠1=∠2，则A、B、C、D四点共圆； （2）若∠EAB=∠BCD，则A、B、C、D四点共圆； （3）若PA?PC=PB?PD，则A、B、C、D四点共圆；
三角形的五心
三角形的三条中线共点，三条角平分线共点，三条高线共点，三条中垂线共点。三角形的垂心、重心、外心共线（欧拉线），并且重心把连结垂心和外心的线段分成2∶1的两段。三角形的外心和内心的距离d?R(R?2r)。此公式称为欧拉式，由此还得到R?2r。当且仅当△ABC为正三角形时,d=0,此时R=2r.其中R和r分别是三角形外接圆半径和内切圆半径。
与△的一边及另两边的延长线均相切的圆称为△的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
重要例题
例1.设M是任意?ABC的边BC上的中点，在AB、AC上分别取点E、F,连EF与AM交于N，求证：
AM1ABAC?(?)（1978年辽宁省中学数学竞赛） AN2AEAF
例2. 已知点O在?ABC内部，OA?2OB?2OC?0.?ABC与?OCB的面积之比为
_________________.
例3. 如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如
果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
A D A A P B
①
C
E C B ②
③
C
B
(第27题)
例4. 三角形ABC为锐角三角形,AD为该三角形的一条高.设P为线段AD上一点,直线BP、CP分别交AC、AB于点E、F，证明：DA平分∠EDF。
例5.正方形ABCD中，E为其内部的一点，且∠EAB= ∠EBA=15°，连DE、CE，求证：三角形DCE为正三角形。
例6．设六边形ABCDEF是凸六边形,且AB=BC,CD=DE,EF=FA.证明:指出等号成立条件.(第38届IMO预选题)
BCDEFA3???,并EBDAFC2
例7.已知等腰三角形?ABC,AB?2，设Pi是底边BC上任一点，(i?1,2,3?100)记
2mi?APi?BPi?PiC，则m1?m2???m100?（ ）
