2πA. 33πC. 4答案 A
解析 因为|AB|＝23
|AB|. 3
在△AFB中，由余弦定理，得 |AF|＋|BF|－|AB|
cos∠AFB＝
2|AF||BF|（|AF|＋|BF|）－2|AF||BF|－|AB|＝
2|AF||BF|41222|AB|－|AB||AB|33＝－1＝－1.
2|AF||BF|2|AF||BF|
2
2
2
2
2
B.D.
5π
6π 3
3
(x1＋x2＋2)，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2，所以|AF|＋|BF|＝2
12|AB|32312
又|AF|＋|BF|＝|AB|≥2|AF||BF|?|AF|·|BF|≤|AB|.所以cos∠AFB≥－3312
2×|AB|312π
1＝－，所以∠AFB的最大值为.故选A.
23
13．已知过抛物线y＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________． 答案 2
1121122
解析 抛物线y＝4x的焦点F(1，0)，p＝2.由＋＝，即＋＝，∴|BF|＝2.
|AF||BF|p2|BF|214．(2019·郑州质检)设抛物线y＝16x的焦点为F，经过点P(1，0)的直线l与抛物线交→→
于A，B两点，且2BP＝PA，则|AF|＋2|BF|＝________． 答案 15
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P(1，0)， →→
∴BP＝(1－x2，－y2)，PA＝(x1－1，y1)． →→
∵2BP＝PA，∴2(1－x2，－y2)＝(x1－1，y1)， ∴x1＋2x2＝3，－2y2＝y1.
将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入抛物线方程y＝16x，得 y1＝16x1，y2＝16x2.
5
2
2
2
2
2
1
又∵－2y2＝y1，∴4x2＝x1.又∵x1＋2x2＝3，解得x2＝，x1＝2.
21
∴|AF|＋2|BF|＝x1＋4＋2(x2＋4)＝2＋4＋2×(＋4)＝15.
2
12
15．(2019·河南郑州测试)过抛物线y＝x的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线
4于A，B两点，则|AB|＝________． 答案
16 3
2
解析 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线x＝4y的焦点坐标是F(0，1)，直线AB
?x＝4y，32
的方程为y＝x＋1，即x＝3(y－1)．由?消去x得3(y－1)＝4y，即
3?x＝3（y－1），
10162
3y－10y＋3＝0，y1＋y2＝，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝.
3316．(2019·长沙调研)过点(0，3)的直线l与抛物线y＝4x只有一个公共点，则直线l的方程为________．
1
答案 y＝x＋3或y＝3或x＝0
3
1
解析 当直线l的斜率k存在且k≠0时，由相切知直线l的方程为y＝x＋3；当k＝0时，
39
直线l的方程为y＝3，此时直线l平行于抛物线的对称轴，且与抛物线只有一个公共点(，43)；当k不存在时，直线l与抛物线也只有一个公共点(0，0)，此时直线l的方程为x＝0.12
综上，过点(0，3)且与抛物线y＝4x只有一个公共点的直线l的方程为y＝x＋3或y＝3
3或x＝0.
17．(2019·广西柳州模拟)已知抛物线y＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两不同点．
→→
(1)若AF＝3FB，求直线AB的斜率；
(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为点C，求四边形OACB面积的最小值．
答案 (1)3或－3 (2)4
解析 (1)依题意可得，抛物线的焦点为F(1，0)，设直线AB：x＝my＋1，将直线AB与抛物
??x＝my＋1，2
线联立?2?y－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
?y＝4x?
2
2
2
11→→2
∵AF＝3FB?y1＝－3y2?m＝，∴斜率为＝3或－3.
3m
6
122(2)S四边形OACB＝2S△AOB＝2×|OF||y1－y2|＝|y1－y2|＝（y1＋y2）－4y1y2＝16m＋16≥4，
2当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4.
π2
18.(2019·江西九江一模)已知抛物线E：y＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的
4直线l被E截得的线段长为8.
(1)求抛物线E的方程；
1
(2)已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－相交于A，B
2两点，求|FA|·|FB|的取值范围． 答案 (1)y＝4x (2)[3，＋∞)
p?2
?y＝x－，pp22消去y整理得x－3px＋＝解析 (1)由题意，直线l的方程为y＝x－.联立?24
??y2＝2px，0.设直线l与抛物线E的交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝3p，故直线l被抛物线E截得的线段长为x1＋x2＋p＝4p＝8，得p＝2，∴抛物线E的方程为y＝4x. (2)由(1)知，F(1，0)，设C(x0，y0)，则圆C的方程是 (x－x0)＋(y－y0)＝(x0－1)＋y0. 132
令x＝－，得y－2y0y＋3x0－＝0.
24
又∵y0＝4x0，∴Δ＝4y0－12x0＋3＝y0＋3>0恒成立． 113
设A(－，y3)，B(－，y4)，则y3＋y4＝2y0，y3y4＝3x0－.
224∴|FA|·|FB|＝＝＝
92
y3＋·4
92
y4＋
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
981222
（y3y4）＋（y3＋y4）＋ 416
3293812
（3x0－）＋[4y0－2（3x0－）]＋
44416
2
＝9x0＋18x0＋9＝3|x0＋1|. ∵x0≥0，∴|FA|·|FB|∈[3，＋∞)．
7
