§2 含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分
?x2例8 计算?(r)?ecosrxdx.???0(24)解
考察含参量反常积分
??????x2?x2ecosrxdx??xesinrxdx.(25)??0??r0由于?xe?x2sinrx?xe??0?x2对一切x?0,???r???dx收敛, 根据M判定法, 含
成立及反常积分?xe?x2参量反常积分(25)在(??,??)上一致收敛.综合上述结果由定理19.11即得
数学分析第十九章含参量积分收敛.
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??(r)???xe0???x2sinrxdx?limA211??x??lim?esinrx??recosrxdx?0A???202??r???x2r???ecosrxdx???(r).2022r2于是有?r4ln?(r)???lnc,?(r)?ce.4??π?x2,从而?(0)?c,又由(25)式,?(0)??0edx?2π所以c?,因此得到
2r2π?4?(r)?e.2A???0A?x2?A?xe?x2sinrxdx数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社§2 含参量反常积分一致收敛性一致收敛性的判别性质含参量无界函数的反常积分
含参量无界函数的反常积分
设f(x,y)在区域R?[a,b]?[c,d)上有定义. 若对x的某些值, y = d 为函数f(x,y)的瑕点, 则称
?dcf(x,y)dy (26)为含参量x的无界函数反常积分, 或简称为含参量反常积分. 若对每一个x?[a,b],积分(25)都收敛, 则其
积分值是x在[a,b]上取值的函数. 含参量反常积分(25)在[a,b]上一致收敛的定义是:
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定义2对任给正数?,总存在某正数??d?c,使得当0????时, 对一切x?[a,b],都有?dd??f(x,y)dy??,则称含参量反常积分(25)在[a,b]上一致收敛．读者可以参照无穷限反常积分的办法建立相应的含参量无界函数反常积分的一致收敛性判别法, 并讨论它们的性质.
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