第9章 概率论与数理统计的MATLAB实现
9.2.2 边缘分布
若连续型随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)，则关于X和Y的边缘概率密度fX(x)和fY(y)分别为：
fX(x)? fY(y)?????????f(x,y)dy f(x,y)dx
???Cx2y,x2?y?1;例9－5 设(X,Y)具有概率密度f(x,y)??
其他。?0,⑴确定常数C；
⑵求边缘概率密度fX(x)和fY(y)。
解：⑴由
??R2f(x,y)d???dx?2Cx2ydy?1可得C?5.25；
?1x11计算程序代码：
clear;clc; syms x y C fxy=C*x^2*y;
g=int(int(fxy,y,x*x,1),x,-1,1); C=double(solve(g-1)) ⑵程序代码：
clear;clc; syms x y
fxy=5.25*x*x*y; fx=int(fxy,y,x*x,1)
fy=int(fxy,x,-sqrt(y),sqrt(y)) 运行结果：
fx =21/8*x^2*(1-x^4) fy =7/2*y^(5/2) 因此，
?212?72.5?x(1?x4),?1?x?1;?y,0?y?1;，fY(y)??2 fX(x)??8??其他。0,其他。?0,?- 181 -
第9章 概率论与数理统计的MATLAB实现
9.3 随机变量的数字特征
在解决实际问题过程中，往往并不需要全面了解随机变量的分布情况，而只需要知道它们的某些特征，这些特征通常称为随机变量的数字特征。常见的有数学期望、方差、相关系数和矩等。 9.3.1 数学期望
⒈ 离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量X的分布律为： 如果
P?X?xk??pk，k?1,2,?
k?xkkpk绝对收敛，则称?xkpk的和为随机变量X的数学期望。
例9－6 设X表示一张彩票的奖金额，X的分布列如下： 50000 X 500000 P 0.000001 0.000009 试求E(X)。
求解程序代码：
%离散型随机变量的数学期望 clear;clc;
x=[500000 50000 5000 500 50 10 0]';
p=[0.000001 0.000009 0.00009 0.0009 0.009 0.09 0.9]'; Ex=x'*p 运行结果： Ex=3.2000
例9－7 设P?X?k??(1?p)求解程序：
%离散型随机变量的数学期望 clear;clc; syms p k
Ex=symsum(k*p*(1-p)^(k-1),k,1,inf)
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k?15000 0.00009 500 0.0009 50 0.009 10 0.09 0 0.9 p，k?1,2,?，0?p?1，求E(X)。
第9章 概率论与数理统计的MATLAB实现
运行结果： Ex=1/p
⒉ 连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分则称该积分的值为随机变量X的数学期望。
例9－8 设X的概率密度为：
?Rxf(x)dx绝对收敛，
?x15002,0?x?1500;?f(x)??(3000?x)15002,1500?x?3000;，
?0其他。?求E(X)。 求解程序代码：
%连续型随机变量的数学期望
clear;clc; syms x
f1=x/1500^2;
f2=(3000-x)/1500^2;
Ex=double(int(x*f1,0,1500)+int(x*f2,1500,3000)) 运行结果： Ex =1500
⒊随机变量的函数的数学期望 计算公式： E(g(X))? E(g(X))??g(x)p
iii?Rg(x)f(x)dx
例9－9 设圆的直径X~U(a,b)，求圆的面积的数学期望。 求解程序代码：
%连续型随机变量的函数的数学期望 clear;clc; syms x a b f=1/(b-a);
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第9章 概率论与数理统计的MATLAB实现
g=pi*x^2/4;
Ey=simplify(int(f*g,x,a,b)) 运行结果：
Ey =1/12*(a^2+b*a+b^2)*pi
所以，圆的面积的数学期望为
?12(a2?ab?b2)。
⒋ 二维随机变量的函数的数学期望 计算公式： E(g(X,Y))? E(g(X,Y))??g(x,yii,jR2j)pij
??g(x,y)f(x,y)d?
例9－10 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?x?y,0?x?1,0?y?1;f(x,y)??，
其他。?0,求E(XY)。 求解程序代码：
%二维连续型随机变量的函数的数学期望
clear;clc; syms x y f=x+y;
Ex=double(int(int(x*y*f,y,0,1),0,1)) 运行结果： Ex =0.3333
9.3.2 方差
设X是一个随机变量，若E[X?E(X)]存在，则称E[X?E(X)]?2??2?为
X的方差，记为Var(X)。即
Var(X)?E[X?E(X)]2
因此，随机变量的方差实际上是随机变量的函数的数学期望。这里不再举例说明。
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