二轮专题02：三角函数与解三角形（解三角形）（师）
1.设△ABC的内角A,B, C所对的边分别为a,b,c且acosC?(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若a=1,求△ABC的周长的取值范围. 【答案】(Ⅰ)A?【解析】
试题分析：(Ⅰ)由acosC?1c?b. 22?23；(Ⅱ) (2,?1] 331c?b 再通过边化角，再结合sinB?sin(A?C).即可求得A的值. 2(Ⅱ)求周长的范围，先把线段b,c表示出来再结合三角函数的知识可求得周长的范围.由正弦定理表示
b?asinB2222?sinB,c?sinC.周长l?a?b?c?1?(sinB?sinC)?1?(sinB?sin(A?B)).又有sinA3333B的范围求出周长的范围.本题主要是解三角形的知识，结合三角函数的知识求最值的问题.属于常规题型.
2.已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，?MCN?分别是a、b、c．
（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；
（Ⅱ）若c?3，?ABC??，试用?表示?ABC的周长，并求周长的最AM2?，在?ABC中，角A、B、C所对的边3大值．
θNBC1
解（Ⅰ）
a、b、c成等差，且公差为2，
?MCN?21?，cosC??， 3222?a?c?4、b?c?2. 又
c?4???c?2??c2?1a2?b2?c21??， ??， ??2?c?4??c?2?22ab2恒等变形得 c?9c?14?0，解得c?7或c?2.又（Ⅱ）在?ABC中，
2c?4，?c?7. …………6分
ACBCABAC??， ??sin?ABCsin?BACsin?ACBsin?BC3??2，AC?2sin?，
2????sin????sin?3?BC?2sin?????3????.
??ABC的周长f????AC?BC?AB?2sin??2sin?????3?????3 ?2??1sin??3cos???22??3?2sin????????3???3，………………………10分
又????0,????2??3??，?3???3?3, ?当?????3?2即??6时，f???取得最大值2?3． ……………………12分3.在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知：3sinB?cosB?1，且b?1．（Ⅰ）若A=5?12，求边c； （Ⅱ）若a?2c，求?ABC的面积．
解：（Ⅰ）由已知3sinB?cosB?1，所以
sin(B??6)?12 0?B??,????5????6?B?6?6，故B?6?6，解得B?3. ……(4分) 由A?5?12，且A?B?C??，得C??4.
由
csinC?bsinB，即c?1，解得C?6. ……(7分) sin??34sin3（2）因为b2?a2?c2?2accosB,a?2c,B??3，
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所以b?4c?c?4c?22221，解得b?3c. ……(10分) 2由此得a?b?c，故?ABC为直角三角形A?222?1,c?. 23其面积s?13bc?. ……(12分) 26?，设?B?x，?ABC的周长为f(x). 34．?ABC中，已知BC?3，?A?（Ⅰ）求f(x)的表达式；
（Ⅱ）当x为何值时f(x)最大，并求出f(x)的最大值. 解：（I）?ABC中，根据正弦定理得：
asinBb??23sinx ……………………………………………2分
sinAasinC?c??23sin(x?) …………………………………4分
sinA3?2??f(x)?23sin(x?)?23sinx?3，其中x?(0，） ………………6分
33?（Ⅱ）f(x)?23sin(x?)?23sinx+3
3 =33sinx?3cosx+3 ………………………………………8分
? =6sin(x?)?3 …………………………………………10分
62???5?由x?(0，）得x??(,)
3666????当x??即x?时，f(x)有最大值9 ……………………………………12分
6?35.岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10
海里的速度前往拦截．
（I）问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？
（II）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．
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4
6、如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+ ，B点北偏西60°3）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203 海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ 解：由题意知AB=5（3+3）海里， ∠DBA=90°-60°=30°，∠DAB=90°-45°=45°， ∴∠ADB=180°-（45°+30°）=105°， 在△ADB中，有正弦定理得 DB AB sin∠DAB sin∠ADB
解得DB=103 又在△DBC中，∠DBC=600 DC2=DB2+BC2-2×DB×BC×cos600
=900∴DC=30 ∴救援船到达D点需要的时间为3030=1（小时）答：该救援船到达D点需要1小时．
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