三角函数大题压轴题练习
1．已知函数f(x)?cos(2x??)?2sin(x?)sin(x?) 344??（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数f(x)在区间[?解：（1）Qf(x)?cos(2x?,]上的值域 122)?2sin(x?)sin(x?) 34413cos2x?sin2x?(sinx?cosx)(sinx?cosx) 2213cos2x?sin2x?sin2x?cos2x 2213cos2x?sin2x?cos2x 22????? ? ? ? ?sin(2x? ∴周期T?由2x??6)
2??? 2?6?k???2(k?Z),得x?k???(k?Z) 23∴函数图象的对称轴方程为 x?k??（2）Qx?[??3(k?Z)
??5?,],?2x??[?,] 122636?6)在区间[?,]上单调递增，在区间[,]上单调
12332??因为f(x)?sin(2x?递减，
所以 当x??????3时，f(x)取最大值 1
又 Qf(??12)??3?13??f()?，当x??时，f(x)取最小值? 222212所以 函数 f(x)在区间[?3,1] ,]上的值域为[?2122??π??（??0）的最小正周期为π． 2???2．已知函数f(x)?sin?x?3sin?xsin??x?（Ⅰ）求?的值；
2
（Ⅱ）求函数f(x)在区间?0，?上的取值范围．
3?2π???解：（Ⅰ）f(x)?1?cos2?x3311?sin2?x?sin2?x?cos2?x?
22222π?1??sin?2?x???．
6?2?因为函数f(x)的最小正周期为π，且??0， 所以
2π?π，解得??1． 2???π?1??． 6?2（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?sin?2x?2π， 3ππ7π所以?≤2x?≤，
666因为0≤x≤所以?1π?≤sin?2x???≤1， 26????π?13?3??≤0，?． ，即的取值范围为f(x)??6?22?2?因此0≤sin?2x?3. 已知向量m=(sinA,cosA),n=(3,?1)，m·n＝1，且A为锐角.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数f(x)?cos2x?4cosAsinx(x?R)的值域. 解：（Ⅰ） 由题意得mgn? 由A为锐角得 A???13sinA?cosA?1, 2sin(A?)?1,sin(A?)?.
662?6??6,A??3
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知cosA?1, 223. 213 因为x∈R，所以sinx???1,1?，因此，当sinx?时，f(x)有最大值.
22 所以f(x)?cos2x?2sinx?1?2sinx?2sins??2(sinx?)?212 当sinx??1时，f(x)有最小值-3,所以所求函数f(x)的值域是??3，?
??3?2?
4.已知函数f(x)?Asin(x??)(A?0，0???π)，x?R的最大值是1，其图像经过点
312?π1??π?M?，?．（1）求f(x)的解析式；（2）已知?，???0，?，且f(?)?，f(?)?，
513?32??2?求f(???)的值．
【解析】（1）依题意有A?1，则f(x)?sin(x??)，将点M(而0????，?（
2
）
依
?1?1,)代入得sin(??)?，32325??????，???，故f(x)?sin(x?)?cosx； 3622312?题意有cos??,cos??，而?,??(0,)5132?，
34125?sin??1?()2?,sin??1?()2?，
5513133124556。 f(???)?cos(???)?cos?cos??sin?sin??????513513655.已知函数f(t)?1?t17?,g(x)?cosx?f(sinx)?sinx?f(cosx),x?(?,). 1?t12（Ⅰ）将函数g(x)化简成Asin(?x??)?B（A?0，??0，??[0,2?)）的形式； （Ⅱ）求函数g(x)的值域.
解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）g(x)?cosxg1?sinx1?cosx?sinxg 1?sinx1?cosx(1?sinx)2(1?cosx)2 ?cosxg?sinxgcos2xsin2x1?sinx1?cosx?cosxg?sinxg.
cosxsinx?17??Qx???,,?cosx??cosx,sinx??sinx,?12??1?sinx1?cosx?g(x)?cosxg?sinxg
?cosx?sinx
?sinx?cosx?2
＝2sin?x???????2. 4?（Ⅱ）由?＜x?17?5??5?得，＜x??. 12443?5?3???3?5??Qsint在?,?上为减函数，在?,?上为增函数，
?42??23?又sin5?5?3??5??17??）， ＜sin,?sin?sin(x?)＜sin（当x???,?2?34244??2?)＜?，??2?2?2sin(x?)?2＜?3， 424即?1?sin(x?故g(x)的值域为??2?2,?3.
??6．（本小题满分12分）
在?ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，a?23，tanA?BC?tan?4, 222sinBcosC?sinA，求A,B及b,c
A?BCCC?tan?4得cot?tan?4 2222CCcossin12?2?4 ∴∴?4 CCCCsincossincos22221∴sinC?，又C?(0,?)
2?5?∴C?，或C?
66解：由
tan由2sinBcosC?sinA得 2sinBcosB?sin(B?C) 即sin(B?C)?0 ∴B?C
B?C??6
2? 3abc??由正弦定理得 sinAsinBsinCA???(B?C)?
