线性代数第一章行列式作业参考解答
3.如果排列x1x2?xn是奇排列,则排列xnxn?1?x1的奇偶性如何？
解：排列xnxn?1?x1可以通过对排列x1x2?xn经过(n?1)?(n?2)???2?1?次邻换得到，每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当奇排列，当
n(n?1)2n(n?1)2n(n?1)2为偶数时，排列xnxn?1?x1为
为奇数时，排列xnxn?1?x1为偶排列。
4. 写出4阶行列式的展开式中含元素a13且带负号的项.
解：含元素a13的乘积项共有(?1)ta13a22a31a44，(?1)ta13a22a34a41，(?1)ta13a21a32a44，
(?1)a13a21a34a42，(?1)a13a24a32a41，(?1)a13a24a31a42六项，各项列标排列的逆序数分别
ttt为t??(3214)?3，t??(3241)?4，t??(3124)?2，t??(3142)?3，t??(3421)?5，
t??(3412)?4， 故所求为?1a13a22a31a44，?1a13a21a34a42，?1a13a24a32a41。
00?????02?0010?00t00?的值. 0n5.按照行列式的定义,求行列式?n?10解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有(?1)a1,n?1a2,n?2?an?1,1ann， 其中t??[(n?1)(n?2)?21n]? (?1)(n?1)(n?2)22)2，故行列式的值等于：
(n?1n)?(n !2xxx2111x12?11x6. 根据行列式定义,分别写出行列式
131的展开式中含x的项和含x的项.
43t044解：展开式含x的乘积项为(?1)a11a22a33a44?(?1)2x?x?x?x?2x
t133含x的乘积项为(?1)a12a21a33a44?(?1)x?1?x?x??x
8. 利用行列式的性质计算下列行列式：
123411r4?3r2r3?r21000021?1204236341211001122c1?c241r1?101134111001122r3?2r1r2?r1141212?401123r4?4r1r3?3r110r2?2r11?11?4100025?3546?561202?0（第二行与第
?10?1?1?(?4)?(?4)?1601000111?312?2?21?1?1?1 解： (1)
2342102r1?(r2?r3?r4)3312?441?10?41?1202315r4?r310410004236
(2)
315四行相同）
a2aba?b1b2121a?bab12bb2(3)2a12br1?r3?2a1ar3?ar1r2?2ar121?001b?aab?a2212b?2a b?a21??(b?a)(b?a)001?x11?x111r4?r1r2?r1x211a111?x112b?a1111?x011r4?r3x21r3?ar2?(b?a)00xr3?r41r1?r20110001?x00x1?x01011001x1011?x211001x1?x12b?a1?x2?(a?b)
311?x0101110111?x (4)
111101
1?x0048350111000?x
41?x1260037x49.若
500=0,求x.
1260037x44835转置1234567800x30045125解：
500?1256?x345??4(5x?12)
即有：?4(5x?12)?0?x?
11. 利用行列式按行或列展开的方法计算下列行列式： 解： (2)
1?aD4??100a1?a?100a1?a?11?100a1?a按第一行展开(1?a)D3?a(?1)1?2?100a1?a?10a1?a
?(1?a)D3?a(?1)(?1)D2?(1?a)D3?aD2[一般地有Dn?(1?a)Dn?1?aDn?2]
2?(1?a)[(1?a)D2?aD1]?aD2?(1?a?a)D2?a(1?a)D1，其中：
D2?1?a?1a1?a?(1?a)?a?1?a?a，D1?1?a?1?a.带入上式即可。
22abbbbcdcd1111cdcddaac12. 设4阶行列式D4?cda，求A14?A24?A34?A44 .
abbbb解：显然，行列式
cda按第四列展开，即得A14?A24?A34?A44。注意到该行列
式的第四列与第一列元素成比例，其值为0，故A14?A24?A34?A44?0. ??x1?14. 当?、?取何值时，齐次线性方程组?x1?x?1???x2???x3x3x3???00 0?x22?x2有非零解？
?解：当系数行列式D?11111?1??11?2?01??2?00?1?2???11?2?0?????(??1)?0时，齐次线性方程组有非零解，于是要求??1或??0
B
15.计算下列行列式:
111?11?a11?11?a1?a11?1(1)
12?10?????011?a2?1（加边法）
11?1?a???n011?1?ann111?11??11?1?1a10?0i?1a1i??10a0a10?012?0????00a第n?1列
2?0（第二列的倍……a1?100?a???n000?ann的1倍都加到第一列）a按第一列展开(1??1)a1a2?an
ni?1ai (2)
xy0?000xy?00xy?0y0?Dn???????按第一列展开x?0x?0?000?xy???y?(?1)n?1xy??y00?0x00?x00??xn?(?1)n?1yn
122?2?122?2222?2022?222?2(3) 223?2c1?c2023?2展开?1?23?2
????????????222?n022?n22?n12?22?2??213?2rn?1?r1101?2????2????2(n?2)!
12?nr2?r100?n?200yaan(a?1)(a?1)?a?11n?????(a?n)(a?n)?a?n1n1a?n??(a?n)n?1n1a?(n?1)?[a?(n?1)]n?1n?????1a? an?1nn?1n?1n?1 (4) Dn?1??a1(a?n)[a?(n?1)]a记x1?a?n,x2?a?(n?1),?xn?1?a，由范德蒙行列式的结论可知，Dn?1?
?1?j?i?n(i?j).
