线性代数知识点
第一章 行列式
定义：
1.逆序和逆序数：对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同个的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。(p5) 2.n阶行列式：设有n个数，排成n行n列的数表
2a11 a12 ??? a1na21 a22 ??? a2n????????????an1 an2 ??? ann，
作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号（?1），得到形如
t（?1）a1p1a2p2???anpn （1）
t的项，其中p1p2???pn为自然数1，2，...，n的一个排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n！个，因而形如（1）式的项共有n！项。所有这n！项的代数和
t?（?1）a1p1a2p2???anpn
称为n阶行列式，记作
a11 a12 ??? a1nD=
a21 a22 ??? a2n?????????an1 an2 ??? ann，
简记作det（aij），其中aij为行列式D的（i,j）元。(p6)
3.余子式：在n阶行列式中，把（i，j）元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元aij的余子式，记作Mij。（p16）
（?1）Mij，Aij叫做（i，j）元aij的代数余子式。（p16） 4.代数余子式：记Aij=
i?j定理：
1.一个排列中个任意两个元素对换，排列改变奇偶性。（p8）
推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。 2.n阶行列式也可定义为
D??(?1)tap11ap22???apnn
其中t为行标排列p1p2???pn的逆序数。（p9）
3.行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D?ai1Ai1?ai2Ai2?????ainA（ini?1,2,...,n）D?a1jA1j?a2jA2j?????anjAnj(j?1,2,...,n) （p17）
推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，
即
ai1Aj1?aj2Aj2?????ainAjn?（0i?j）a1iA1j?a2iA2j?????aniAnj?0(i?j) （p19）
4.如果线性方程组（1-1）的系数行列式D?0,则（1-1）一定有解，且解是惟一的。
4’.如果线性方程组（1-1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
?a11x1?a12x2????a1nxn?b1,?ax?ax????ax?b,?2112222nn2（1-1） ??????????????????an1x1?an2x2????annxn?bn,?a11x1?a12x2????a1nxn?0,?ax?ax????ax?0,?2112222nn（1-2） ??????????????????an1x1?an2x2????annxn?0,
5.如果齐次线性方程组（1-2）的系数行列式D?0，则齐次线性方程组（1-2）没有非零解。
5’.如果齐次线性方程组（1-2）有非零解，则它的系数行列式必为零。
性质：
1.行列式与它的转置行列式相等，即D=D。（p9）
2.互换行列式的两行（列），行列式变号。（p10）
腾讯体育推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。（p10）
3.行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。（p10） 推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。（p10）
4.行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。（p10）
5.若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和。（p10）
T6.把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。（p11）
7.代数余子式：?akiAkj?D?ij??k?1nn?D,当i?j
?0,当i?j?D,当i?j 或 ?aikAjk?D?ij??
k?10,当i?j? 其中?ij???1,当i?j （p20）
?0,当i?j引理：
一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素出（i,j）元aij外都为零，那么这行列式等于aij1.
与它的代数余子式的乘积，即
D?aijAij
（p16）
克拉默法则：
?a11x1?a12x2????a1nxn?b1,?ax?ax????ax?b,?2112222nn2（1-1） ??????????????????an1x1?an2x2????annxn?bn,如果线性方程组（1-1）的系数行列式不等于零，即
a11???a1nD????????0，
an1???ann那么，方程组（1-1）有唯一解
x1?DD1D,x2?2,???,xn?n, DDD其中Dj(j?1,2,???,n)是系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式。
第二章 矩阵及其运算
定义：
1.矩阵：由m?n个数aij(i?1,2,???,m;j?1,2,???,n)排成的m行n列的数表
a11 a12 ??? a1na21 a22 ??? a2n?????????am1 am2 ??? amn
称为m行n列矩阵，简称m?n矩阵。为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作
?a11 a12 ??? a1n???a a ??? a?21222n?A???????????????a a ??? a?mn??m1m2,
这m?n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的（i，j）元，以数aij为（i,j）元的矩阵可简记作（aij）或aij??m?n。m?n矩阵A也记作Am?n。
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
行数与列数都等于n 的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。n阶矩阵A也记作An。
只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量，只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。如果A与B是通行矩阵，并且它们对应的元素相等，那么就称矩阵A与矩阵B相等。
元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。注意不同型的零矩阵是不同的。（p29） 2.系数矩阵：n个变量x1,x2,???,xn与m个变量y1,y2,???,ym之间的关系式
?y1?a11x1?a12x2?????a1nxn,?y?ax?ax?????ax,?22112222nn（2-1） ??????????????????ym?am1x1?am2x2?????amnxn表示一个从变量x1,x2,???,xn到变量y1,y2,???,ym的线性变换，其中aij为常数，线性变换的系数aij构成矩阵A=（aij）m?n。系数所构成的矩阵称为系数矩阵。（p31） 3.单位矩阵：线性变换
