◆◆◆定值问题◆◆◆
模型一：◆共线向量问题◆
x2y2
例题：已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点F和椭圆＋＝1的右焦点重合，直线l过
43
2
点F交抛物线于A，B两点．
(1)求抛物线C的方程；
→
→
→→
(2)若直经线l交y轴于点M，且MA＝mAF，MB＝nBF，对任意的直线l，m＋n是否为定值？若是，求出m＋n的值；否则，说明理由．
◆知识分析：涉及到多点共线问题，一般用定比分点或者向量法，用‘自动点’表示出‘因动点’，在将题设条件转化为方程，最后带入曲线方程求解即可；另一种方法就是直线与圆锥曲线的通法韦达定理求解，但是计算量相对较大
解(1)∵椭圆的右焦点F(1,0)，∴p＝2，即抛物线方程为y2＝4x.
(2)法一 由已知，得直线l的斜率一定存在且不为零，所以设l：y＝k(x－1)(k≠0)，l与y轴交于M(0，－k)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
??y＝k?x－1?，由?2则k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0， ?y＝4x，?
所以Δ＝4(k2＋2)2－4k4＝16(k2＋1)>0， 2k2＋4
x1＋x2＝2，x1x2＝1.
k
x1又因为MA＝mAF，所以(x1，y1＋k)＝m(1－x1，－y1)．所以x1＝m(1－x1)，即m＝.
1－x1
2k2＋4
－2k2x1＋x2－2x1x2x2x1x2
同理可得n＝，所以m＋n＝＋＝＝＝－1.
1－x21－x11－x21－?x1＋x2?＋x1x22k2＋4
1－2＋1
k
故对任意的直线l，m＋n为定值－1. 法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)
→→
→→
由MA＝mAF，得(x1，y1－y0)＝m(1－x1，－y1)，
?所以?y
y＝
?1＋m.
x1＝
1
0m，1＋m
→→
由MB＝nBF，得(x2，y2－y0)＝n(1－x2，－y2)，
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?所以?y
y＝
?1＋n.x2＝
2
0n，1＋n
22
将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入抛物线C的方程，整理得4m2＋4m－y20＝0,4n＋4n－y0＝0，
所以m，n是方程4x2＋4x－y20＝0的根，故m＋n＝－1.所以对任意直线l，m＋n为定值－1.
练习1：(05全国Ⅰ）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭（Ⅰ）求椭圆的离心率； 值.
?????????圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA?OB与a?(3,?1)共线。
?????????????22（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且OM??OA??OB (?,??R)，证明???为定
x2y2解：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0),F(c,0)
abx2y2则直线AB的方程为y?x?c，代入2?2?1，化简得
ab(a2?b2)x2?2a2cx?a2c2?a2b2?0.
a2ca2c2?a2b2 令A（x1,y1），B(x2,y2），则x1?x2?2,x1x2?.2222a?ba?b由OA?OB?(x1?x2,y1?y2),a?(3,?1),OA?OB与a共线，得
3(y1?y2)?(x1?x2)?0,又y1?x1?c,y2?x2?c，
?3(x1?x2?2c)?(x1?x2)?0,2a2c3c即2，所以a2?3b2.?22a?b故离心率e??x1?x2?3c. 26a， 3?c?a2?b2?c6?. a322x2y2（II）证明：（1）知a?3b，所以椭圆2?2?1可化为x2?3y2?3b2.
ab设OM?(x,y)，由已知得(x,y)??(x1,y1)??(x2,y2),
?x??x1??x2, ?M(x,y)在椭圆上，?(?x1??x2)2?3(?y1??y2)2?3b2. ???y??x1??x2.222即?2(x1?3y12)??2(x2?3y2)?2??(x1x2?3y1y2)?3b2.①
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由（1）知x1?x2?3c232212,a?c,b?c. 222a2c2?a2b232x1x2??c
a2?b28x1x2?3y1y2?x1x2?3(x1?c)(x2?c)
?4x1x2?3(x1?x2)c?3c2
?3292c?c?3c2=0 222222222又x21?3y1?3b,x2?3y2?3b，代入①得????1.
x2y2x2y2练习2：已知a?2b?0，设椭圆C1:2?2?1双曲线C2:2?2?1的公共点分
abab别为A、B，P、Q分别是椭圆C1和双曲线C2上不同于A、B的两个动点，且满足：
????????????????AQ?BQ??(AP?BP)，其中|?|?1．记直线AQ、BQ、AP、BP的斜率分别为
k1、k2、k3、k4，若k1+k2=5，求k3+k4．
【答案】易知公共点A、B坐标为A(?a,0)、B(a,0)，令P(x1,y1),Q(x2,y2)
????????????????则AQ?(x2?a,y2)、BQ?(x2?a,y2)AP?(x1?a,y1)、BP?(x1?a,y1)
?????????????????AQ?BQ??(AP?BP),得(x2,y2)??(x1,y1)
因为P、Q分别在椭圆、双曲线上
x12y12??1a2b2??22x2y2??1a2b2{{x12y12??112x12a2b2?2?2?1 2222?a?x1?y1?2?1a2b由于k1?k2?5.?y2y?2?5， x2?ax2?a2?2x1y12x1y1即有22，可化为?5?5. 22?x1?aax12?2?2x1y12x12将2?2?1带入.得=5. ?a?x12?a21
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又因为k3?k4?y1y2xy?1?2112 x1?ax1?ax1?a?k3?k4??5（方法不唯一）
练习3：已知点F为抛物线C:y2?4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A,B两点，若点P的纵坐标为m(m?0)，点D为准线l与x轴的交点．
（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求?DAB的面积S范围；
y????????????????（Ⅲ）设AF??FB，AP??PB，求证???为定值．
解：（Ⅰ）由题知点P,F的坐标分别为(?1,m)，(1,0)，于是直线PF的斜率为?PADOFxm， 所以直线PF的方程为2lBy??m(x?1)，即为mx?2y?m?0． 2?y2?4x,?（Ⅱ）设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，由?得m?y??(x?1),?2m2x2?(2m2?16)x?m2?0，
2m2?164m2?16所以x1?x2?，x1x2?1．于是|AB|?x1?x2?2?． 22mm点D到直线mx?2y?m?0的距离d?2|m|m?42，所以
114(m2?4)2|m|4. S?|AB|d??41?22222mmm?4因为m?R且m?0，于是S?4，所以?DAB的面积S范围是(4,??)．
????????????????（Ⅲ）由（Ⅱ）及AF??FB，AP??PB，得
(1?x1,?y1)??(x2?1,y2)，(?1?x1,m?y1)??(x2?1,y2?m)，
于是??1?x1?1?x1，??（x2??1）.所以 x2?1x2?1
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