武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书
1、滤波器简介
从广义上讲，任何对某些频率（相对于其他频率来说）进行修正的系统称为滤波器。严格地讲，对输入信号通过一定的处理得到输出信号，这个处理通常是提取信号中某频率范围内的信号成分，把这种处理的过程称为滤波。实现滤波处理的运算电路或设备称为滤波器。
在许多科学技术领域中，广泛应用线性滤波和频谱分析对信号进行加工处理，模拟滤波是处理连续信号，数字滤波则是处理离散信号，而后者是在前者的基础上发展起来的。我们知道，无源或有源模拟滤波器是分立元件构成的线性网络，他们的性能可以用线性微分方程来描述，而数字滤波器是个离散线性系统，要用差分方程来描述，并以离散变换方法来分析。这些方程组可以用专用的或通用的数字计算机进行数字运算来实现。因此，数字滤波器的滤波过程是一个计算过程，它将输入信号的序列数字按照预定的要求转换成输出数列。
2、低通数字滤波器
2.1频谱图
H(ej?j?? ??c?H(e) ?)??
0 ? ? ????c?|H(ej)| ω-2π -fs
-π -ωc -fs/2 -fc
1
ωc π fc fs/2 2ππfs f
图2.1 低通数字滤波器的频谱
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2.2、低通数字滤波器的主要技术指标
滤波器的主要技术指标取决于具体的应用或相互间的相互关系。具体的有最大通带增益（即通带允许起伏?）；最大阻带增益?；通带截止频率?p；阻带截止频率?s。如图2.2所示
HaeαdB ?j?T? 0dB
βdB ?p
图2.2 滤波器的主要技术指标
?s
ω
3、IIR低通滤波器的设计方法
Y(z)IIR滤波器是一种数字滤波器，滤波器的系统函数如式 H(z)??X(z)
?h(n)zn?0??n??br?0NMrz?rk1??ak?1z?k由于它的脉冲响应序列h(n)是无限长的，故称无限冲
激响应滤波器。IIR滤波器的设计就是根据滤波器某些性能指标要求，设计滤波器的分子和分母多项式。它和FIR滤波器相比优点是在满足相同性能指标要求条件下，IIR滤波器的阶数要明显低于FIR滤波器。但IIR滤波器的相位是非线性的。
3.1、IIR低通滤波器设计的基本思路
?st转换1) 利用ω=ΩT，将数字低通的技术指标转化为模拟低通的技术指标，将?p、成?p、?st,而RP ,RS不变；
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2)利用巴特沃斯逼近法，求出模拟滤波器的系统函数Ha(s)；
3)利用冲激响应不变法，将模拟滤波器数字化，得到数字滤波器的系统函数H（z）； 4)利用MATLAB软件实现所设计的H（z）。
3.2、模拟低通滤波器的概述
用模拟—数字变换法设计IIR数字滤波器，首先必须设计一个模拟滤波器，它有许多不同的类型，本设计中采用的是巴特沃斯滤波器。
巴特沃斯（Botterworth简写BW）滤波器。对一个N阶低通滤波器来说，所谓最平坦特性就是模拟函数的前（2N-1）阶导数在??0处都为零。BW滤波器的另一个特性是在通带和阻带内的幅频特性始终是频率的单调下降函数，且其模拟函数随阶次N 的增大而更接近于理想低通滤波器。
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|用下式表示：
|Ha(j?)|?22
1???1?????c?2N
式中，N称为滤波器的阶数。当Ω=0时，|Ha(jΩ)|=1；Ω=Ωc时，|Ha(j?)|?1/2,Ωc是3dB截止频率。在Ω=Ωc附近，随Ω加大，幅度迅速下降。
幅度特性与Ω和N的关系如图3.1所示。幅度下降的速度与阶数N有关，N愈大，通带愈平坦，过渡带愈窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快,总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。
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图3.1 巴特沃斯滤波器幅度特性及其与N的关系
以s替换jΩ，将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：
Ha(s)Ha(?s)?12N (1)
1???s??j??c? s2N??(j?c)2N (2)
1 sjπ(1k?(?1)2N(j?2?2k?12N)c)??ce (3)
式(3)中，k=0，1，2，…，2N-1。
Ha(s)Ha(?s)在S平面的极点位置如图3.2所示
图3.2 巴特沃斯滤波器Ha(s)Ha(?s)在S平面的极点位置
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