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2013年北京各区一模压轴题的拓展思考
说明：兹对2013年北京各区模拟试题的第8、12、22、23、24、25题谈些理解与认识，或叫做拓展与思考，望批评指正。
2．顺义一模
第8题：
2013顺义一模如图， AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP和PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为D
A． B． C． D． 分析：定性断势，定量求式，二者结合。设参：AB=2，v=1，求式
第12题：
2013顺义一模如图，边长为1的菱形ABCD中，?DAB?60°，则菱形ABCD的面积是 ，连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使?D1AC?60°；连结AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使?D2AC1?60°；……，按此规律所
3(3)2n?1作的第n个菱形的面积为 ． ，
22模型：60度的菱形（两个等边三角形）
※S等边?ABCD2
C2
C1
D1 D C B
32?a 4※顶角为120度的等腰三角形三边关系1:1:3
分析：第1个：边长1
A
－ 1 －
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第2个：边长3 第3个：边长3
n?1第n个：边长(3)
(3)2n?1第n个菱形的面积：．
2第22题：
2013顺义一模如图1，在四边形ABCD中，AB?CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则?BME??CNE（不需证明）．
（提示：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE?HF，从而?1??2，再利用平行线性质，可证得?BME??CNE．） （补充）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB?CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．
问题二：如图3，在△ABC中，AC?AB，D点在AC上，AB?CD，E、F分别是连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若?EFC?60°，连结GD，BC、AD的中点，
判断△AGD的形状并证明．
（1）等腰三角形
（2）判断：?AGD是直角三角形
证明：如图连结BD，取BD的中点H，连结HF、HE，
B H 1 2 E 图1
C D 图2
M N A F A D F O M N C E B B A F E 图3
D C
G F是AD的中点，
∴HF∥AB，HF?∴?1??3．
－ 2 －
1AB， 2
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同理，HE∥CD，HE?∴?2??EFC． AB?CD，∴HF?HE， ∴?1??2．
1CD， 2B G A 3 F D 1 H 2 E
C
?EFC?60°，
∴?3??EFC??AFG?60°， ∴?AGF是等边三角形．
AF?FD，
∴GF?1AD， 2∴?AGD?90°
即△AGD是直角三角形．
拓展练习：
2013年全国初中数学联赛初二初赛如图，已知四边形ABCD中，AB?DC，E、F分别为AD与BC的中点，连结EF与BA的延长线相交于N，与CD的延长线相交于M. 求证：?BNF??CMF
分析：连结AC,取AC的中点K..连结EK,FK. 可证
第23题：
2013顺义一模已知关于x的方程mx?(3m?2)x?2m?2?0
－ 3 －
2M N A E D
B F C
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（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于x的二次函数y?mx?(3m?2)x?2m?2的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，求抛物线的解析式.
（1）分类证明
2（2）m只能取1，2 所以抛物线的解析式为y?x?5x?4或y?2x?8x?6
22
第24题：
2013顺义一模如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形
ABCD的顶点A重合．三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G.
（1）求证：EF?EG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB?a，BC?b，求
（1）证Rt△FED≌Rt△GEB. （2）成立.证Rt△FEI≌Rt△GEH. （3）证Rt△FEN∽Rt△GEM.
EF的值． EGEFENb??. EGEMa
－ 4 －
