2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛（大专组）
D题（抢渡长江）参考答案
注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
设竞渡在平面区域进行, 且参赛者可看成质点沿游泳路线 (x(t), y(t)) 以速度 u(t)?(ucos?(t)，usin?(t))前进，其中游速大小u不变。要求参赛者在流速 ?v(t)?(v,0)给定的情况下控制 ?(t) 找到适当的路线以最短的时间 T 从起点 (0,0) 游到终点 (L, H)，如图1。 这是一个最优控制问题:
y H u ? MinTv dxs.t.?ucos?(t)?v,x(0)?0,x(T)?L dt0 dy?usin?(t),y(0)?0,y(T)?Hdt图1
L x 可以证明，若 ?(t)?为连续函数, 则??(t)?等于常数时上述问题有最优解。证明见: George Leitmann, The Calculus of Variations and Optimal Control, Plenum Press, 1981. pp. 130 – 135, p. 263, Exercise 15.13. （注：根据题意，该内容不要求同学知道。）
?1. 设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，即令?u(t)?(ucos?，usin?)，而流速?v(t)?(v,0)， 其中?u 和 v 为常数, ?为游泳者和x 轴正向间的夹角。于是游泳者的路线 (x(t), y(t)) 满足
?dx?ucos??v,x(0)?0,x(T)?L??dt （1） ?dy??usin?,y(0)?0,y(T)?H??dtT是到达终点的时刻。 令z?cos?，如果 (1) 有解, 则
??x(t)?(uz?v)t,L?T(uz?v) （2） ?22??y(t)?u1?zt,H?Tu1?z即游泳者的路径一定是连接起、终点的直线，且
LHH2?L2 T? （3） ??222uz?vu1?zu?2uzv?v若已知L, H, v, T, 由（3）可得
z?L?vTH2?(L?vT)2,u?L?vT （4） zT由（3）消去 T 得到
Lu1?z2?H(uz?v) （5） 给定L, H, u , v的值，z满足二次方程
（H2?L2)u2z2?2H2uvz?H2v2?L2u2?0 （6）
（6）的解为
?H2v?L(H2?L2)u2?H2v2 z?z1， （7） 2?22(H?L)u方程有实根的条件为
u?vHH?L22???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????（8）?
为使（3）表示的T最小，由于当L, u, v 给定时,
dT?0， 所以(7) 中z 取较大的根, dz即取正号。将（7）的z1代入（3）即得T，或可用已知量表为
(H2?L2)u2?H2v2?Lv （9） T?22u?v以H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和第一名成绩T=848 s 代入（4），得z= -0.641, 即? =117.50，u=1.54 m/s。
以H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和u=1.5 m/s代入（7），（3），得z= -0.527, 即? =1220，T=910s，即15分10秒。
2. 游泳者始终以和岸边垂直的方向（y轴正向）游, 即 z = 0, 由（3）得T =L/v≈529s, u= H/T≈2.19 m/s。游泳者速度不可能这么快，因此永远游不到终点, 被冲到终点的下游去了。
注：男子 1500 米自由泳世界记录为 14分41秒66, 其平均速度为1.7 m/s。 式（8）给出 了能够成功到达终点的选手的速度，对于2002年的数据，H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s，需要u >1.43 m/s。
假设 1934 年竞渡的直线距离为5000 m, 垂直距离仍为H = 1160 m, 则L=4864 m, 仍设v= 1.89 m/s，则游泳者的速度只要满足 u >0.44 m/s，就可以选到合适的角度游到终点?。(游 5000米很多人可以做到)
D
v3 u 3. 如图2，H分为H=H1+H2+H3 3段，H1= H3 ?3 H3=200 m, H2=760 m, v1= v3=1.47 m/s，v2=
C 2.11m/s, 游泳者的速度仍为常数
v2 H2 u=1.5 m/s, 有v1，v3< u, v2> u, 相应的游泳方
u 向?1，?2为常数。路线为ABCD, AB平行CD。
?2 L分为L=L1+L2+L3, L1=L3, 据（8），对于v2> v1 u B H1 u, L2应满足 ?1 A LL2?H22v2?u2（?752m) （10） 2u1 L2 L1 图2
因为v1< u, 故对L1无要求。
对于确定的L1，L2，仍可用1中的公式计算游泳的方向和时间。 为确定使总的时间最小的路线ABCD, 注意到 L1=L3= ( L -L2)/2，由 (9) 知所需要的总时间为
T?2222(H2?L2(H12?（L?L2)2/4)u2?H12v12?（L?L2)v2/22)u?H2v2?L2v2?22u2?v2u2?v12 （11）
求L2使T最小。编程计算可得：L2= 806.33 m时T = 904.02s ≈ 15 分 4 秒。
将得到的 L2= 806 m，L1==L3= 97 m代入（7）可得?1=1260，?2=1180，即最佳的方向。
也可以用枚举法作近似计算：将L2从760 m到1000 m每20 m一段划分，相应的L1， L3从120 m到0 m每10 m一段划分。编程计算得下表，其中?1, ?3, ?2 和T1, T3, T2分别为3段中游泳的方向和时间，而T=T1+ T2+ T3 为总的时间。 L1, L3 (m) 0 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 110.00 120.00 T1, T3 (s) 670.03 525.87 419.90 344.10 290.02 250.95 222.22 200.73 184.40 171.84 162.10 154.52 148.62 ?1, ?3 ( 0 ) 168.52 165.31 161.49 157.20 152.63 147.91 143.13 138.38 133.69 129.11 124.66 120.36 116.21 L2 (m) 1000.00 980.00 960.00 940.00 920.00 900.00 880.00 860.00 840.00 820.00 800.00 780.00 760.00 T2 (s) 509.07 510.85 513.26 516.39 520.38 525.41 531.72 539.65 549.73 562.79 580.37 605.97 652.68 ?2 ( 0 ) 95.57 97.34 99.19 101.13 103.18 105.35 107.66 110.14 112.83 115.81 119.19 123.27 129.08 T (s) 1849.12 1562.59 1353.06 1204.59 1100.41 1027.30 976.16 941.11 918.52 906.47 904.58 915.01 949.91 可知L1=L3=100(m)，L2 =800(m) 时T=904.58(s)最小，即成绩为15分5秒，相应的游泳方向?1=?3=124.660，?2=119.190。
4. H仍分为3段，对于流速连续变化的第1段H1=200 m，方程（1）变为
v?dx?ucos??y,x(0)?0,x(T1)?L1?H1?dt （12） ??dy?usin?,y(0)?0,y(T1)?H1??dt其中v（=2.28m/s）为常数, 仍设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，及z?cos?，若(1) 有解，则
?uv1?z22t?uzt,L1?x(T1)?x(t)?2H （13） ?1?2H1?y(T1)?y(t)?u1?zt,是一条抛物线。类似于1中的作法得到，给定L, H, u , v的值，z满足二次方程
222（4H12?L1)u2z2?4H12uvz?H12v2?4L1u?0 （14）
取绝对值较小的根，为
2?H12v?L14(H12?L1)u2?H12v2z? （15） 222(H1?L1)u有实根的条件为
u?vH12H?L2121?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????（16）?
将（15）的z代入（13）得第1段的时间
T1?H1u1?z2 （17）
因u>v/2，由（16）对L1无要求。
对于第2段H2=760 m，仍用（9），（10），应有L2> 870 m，且第2段的时间
T2?2222(H2?L22)u?H2v?L2vu2?v2
（18）
注意到 L1=L3= ( L -L2)/2，T1=T3, 得总的时间为
T?T2?2T1 （19）
将给定的L, H1, H2, u和v=2.28 m/s代入（15），（17），（18），（19），求L2使T最小。
编程计算可得：L2= 922.9 m时T =892.5s ≈ 14 分53 秒。
将L2= 923 m，L1==L3= 38.5 m分别代入（7）和（15）可得?1=127.70，?2=114.50，即最佳的方向。
类似3，也可以用枚举法作近似计算：将L2从880 m到1000 m每20 m一段划分，相
应的L1，L3从60 m到0 m每10 m一段划分，编程计算得下表。 L1, L3 (m) 0 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 T1, T3 (s) 205.15 193.76 183.58 174.56 166.67 159.83 153.98 ?1, ?3 ( 0 ) 139.46 136.52 133.42 130.20 126.87 123.47 120.02 L2 (m) 1000.00 980.00 960.00 940.00 920.00 900.00 880.00 T2 (s) 522.45 528.33 535.89 545.80 559.23 578.72 613.18 ?2 ( 0 ) 104.12 106.46 109.01 111.83 115.04 118.90 124.28 T (s) 932.76 915.85 903.05 894.93 892.56 898.39 921.15 可知L1=L3=40，L2 =920时T=892.56(s)最小，即14分53秒， ?1=?3=126.870，?2=115.040。
注 问题3中v1= v3=1.47 m/s，v2= 2.11m/s 及问题4中v=2.28 m/s的确定，是考虑到使平均流速仍保持报载的1.89 m/s。学生可以合理地改变数据。
