函数与几何图形综合题
注意：函数及与函数有关的代数知识与直线型、圆、图形变换综合 . 例1 如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0） ，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△COD.
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求经过C、B、D三点的解析式；
（3）设（2）中的抛物线的顶点为P, AB的中点为M, 试判断△PMB是钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形，并说明理由.
[解析]
（1）由旋转变换的性质可知OC=OA=2, OD=OB=4, 所以C、D两点的坐标分别为 C（-2，0）、D（0，4）.
（2）设所求抛物线的解析式为 y = ax2 + bx + 4, 根据题意得
?16a?4b?4?0, ??4a?2b?4?0.所以 解析式为 y=?1??a??,解得?2
??b?1.12
x+x+4. 212
x+x+4 2（3）△PMB是钝角三角形.理由如下： 如图，PH是抛物线y=?的对称轴，求得P(1,
9). 4过M作MG⊥OB于G, 由AM=BM，利用相似知识可求得 M(2, 1). 所以 点M在PH右侧.又∠PHB=90°, 所以 ∠1>90°. 因为 ∠PMB >∠1, 所以 △PMB是钝角三角形.
[立意] 以一个常见的两块全等的直角三角形纸板拼在一起的图形为背景，以其拼出的凹四边形的三个不共线的顶点建立抛物线.此题把旋转变换与二次函数结合在一起，涉及到求点的坐标、用待顶系数法求函数解析式、求抛物线顶点坐标、全等、相似、三角形内外角不等关系等知识，难度适中，又有层次感.
2323x?上，过A作33AB⊥x轴于B， AD⊥y轴于D，将矩形纸片ABOD沿对角线BD 折叠后得A点的对应点为A′，重叠部分为△BDC. y（1) 求证：△BDC是等腰三角形； （2）如果点A的坐标是（1，m）,求△BDC的面积； (3) 在（2）的条件下，求直线BC的解析式，并判断点A′是否落
D在已知的抛物线上？请说A明理由 . y
例2 如图，已知平面直角坐标系xoy中，点A在抛物线y?A'COBxA'DA
[解析] 第（1）问与坐标无关，用几何方法证明，折叠后对应角相等，平行内错角相等 .
2323x?，可求得m?3，在333Rt△BDA中，DA=1, AB?3, 得 ∠ABD=30°, 从而∠CBO=30°, CO?. 所以，
33S?BCD?S?BOD?S?BOC?.
333x?第（3）问，可直线BC的解析式为y?? （见到这样的直线解析式，知道33它与x轴所夹的锐角度数吗？）
第（2）问，把点 A（1，m）的横、纵坐标代入y?. 设A′（x, y）, 过A′作A′M ⊥x轴于M, 则A'M?入y??1133BA'?AB?, 即y?. 代2222331x?得x??. 33231A′（?, ），检验可判断A′ 在抛物线上 .
22 [立意] 本题通过长方形的折叠 (也可换成以含30°的直角三角形经过变换为几何背景)，构造出与一次函数、二次函数相关的综合问题，体现了几何问题代数化的思想，考查学生对直角坐标系、函数的基础知识、对称的性质、正方形的性质、长方形的性质等知识的掌握情况，更着重考查学生的用数形结合思想、运算能力以及分析问题、解决问题的能力． 例3（南宁）OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6．
（1）如图，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点，求B′点的坐标；
（2）求折痕CM所在直线的解析式；
1（3）作B?G//AB交CM于G，若抛物线y?x2?m过点G，
6求抛物线解析式，并判断以原点O为圆心，OG为半径的圆与抛物线除交点G外，是否还有交点？若有，请直接写出交点坐标.
[解析] 第（1）问，通过对称和勾股定理进行求解；第（2）问，引进字母，建立方程求解．第（2）问中，设AM＝x，则MB′＝BM＝6－x，AB′＝10﹣8＝2，因为△AMB′是
直角三角形，所以x2＋22＝（6－x）2，解得x＝
88，所以，M的坐标为（10，），于是问33题迎刃而解，CM所在直线的解析式为 y??x?6 ．此题第(2)问通过引进未知数、列出
1310） 311012210101222设G（8，a）， 故G（8，）..a???8?6? ，??8?m，m??.y?x2?3336633310因此抛物线与圆除交点G外，另有一个关于y轴的对称点，其坐标为（-8，）.
3方程进行求解，十分方便，比较好的体现出方程思想． 第（3）问，有交点（-8， [立意] 本题第（1）、（2）问，也是利用矩形纸片设置一个折纸情景求点的坐标，进而求直线的解析式，意在考查学生对对称的性质、点的坐标的意义、矩形性质等知识的掌握状况，更着重考查学生用方程的思想来解决问题的能力．
例4 如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒， (1)求直线AB的解析式；
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似?并求出此时点P与点Q的坐标；
(3)当t为何值时， △APQ 的面积为
24个平方单位? 53x?6．第（2）问，△APQ4[解析]第（1）问，用待定系数法迎刃而解，结果是y＝?与△AOB相似的情况有两种可能：①当∠APQ＝∠AOB时，由相似形的性质可求出P、Q的坐标分别为（0，（0，
364036,），（1111）；②∠AQP＝∠AOB时，可求出P、Q的坐标分别为
282460,），（131313）；第（3）问，由面积等于
24, 列方程可求得t=2或t=3． 5[立意] 本题通过求直线的解析式和动态问题中的相似形、及面积问题，考查学生运用待定系数法求解析式、相似三角形的有关知识的水平，解方程等方面的知识的掌握情况，更突出考查了学生对分类讨论思想方法的运用水平．
例5 上学期期末25题
例6 毕业考试第23题
