第二讲 函数的单调性与最值
知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I，都条件 有 ； (2)存在x0∈I，使得 . 结论 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1 (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) (3)对于任意x∈I，都有 ； (4)存在x0∈I，使得 . 自左向右看图象是 的. M为最大值 M为最小值 x(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．( ) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．( ) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (5)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( ) 1 1－x(6)函数y＝2的最大值为1.( ) 1＋x考点自测 1．(2014·北京改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________． ①y＝x＋1； ③y＝2 －x; 2 ②y＝(x－1)； ④y＝log0.5(x＋1)． 2 2．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题： ①函数f(x)＝x(x∈R)是单函数； ②指数函数f(x)＝2(x∈R)是单函数； ③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)． 3．函数f(x)＝ 2x在[1,2]的最大值和最小值分别是____________________________． x＋1 2 2 x4．已知函数f(x)＝x－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________． 典型例题 题型一 函数单调性的判断 例1 (1)判断函数f(x)＝ 2 ax2 x－1 (a>0)在x∈(－1,1)上的单调性． (2)求函数y＝x＋x－6的单调区间． 思维升华 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之． (2)复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数． (1)判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性． (2)求函数y＝log1(x－4x＋3)的单调区间． 32 ax题型二 利用单调性求参数范围 例2 (1)如果函数f(x)＝ax＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是________． ???2－a?x＋1，x<1， (2)已知f(x)＝?x?a，x≥1，? 2 满足对任意x1≠x2，都有f?x1?－f?x2? >0成立， x1－x2 2 那么a的取值范围是________． 思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． (1)若f(x)＝－x＋2ax与g(x)＝ 范围是________． 2 ax＋1 在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值 a ?x>1?，?? (2)已知f(x)＝??a?4－??x＋2 ?x≤1????2? ________． 题型三 利用函数的单调性求最值 x 是R上的增函数，则实数a的取值范围为 例3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f??＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)证明：f(x)为减函数； (3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值． 思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或 ?x1??x2? f?x1? 与1的大小．有时 f?x2? 根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·或x1＝x2＋x1－x2等；(2)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法． 1 (1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x) 2 ＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为________． (2)函数f(x)＝ 方法与技巧 1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断． 2．判断单调性的常用方法：定义法、图象法、导数法． 3 x1x2 11 在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________. x－13 课后作业 1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1 ①f(x)＝； x②f(x)＝(x－1)； 2 ③f(x)＝e x; ④f(x)＝ln(x＋1)． 2 2．已知函数f(x)＝2ax＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是________． 3．函数f(x)＝log1(x－4)的单调递增区间是________． 22 1 4．已知f(x)为R上的减函数，则满足f()>f(1)的实数x的取值范围是________． x5．定义新运算“*”：当a≥b时，a*b＝a；当a 2 x∈[－2,2]的最大值等于________． 6．已知函数f(x)＝x－2x－3，则该函数的单调增区间为________． 7．已知函数f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f(a－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________． 8．设函数f(x)＝ 2 2ax＋1 在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________． x＋2aax11 9．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)， (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； 11 (2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值． 22 10．已知函数f(x)＝－小值． 4 2 ，x∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最x＋1
