海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（文） 2015.4
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
（1）已知集合A?{x|x?2}，B?{1,2,2}，则A（A）{2}
（C）{?2,1,2,2}
2B?（ ）
（B）{2}
（D）{?2,1,2,2}
（2）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（ ） （A）
1 2（B） 1 （C）2 （D）4
x（3）已知函数f(x)是奇函数，且当x?0时，f(x)?e，则f(?1)?（ ）
（A）
1 e（B）?1 e（C）e （D）?e
（4）某单位计划在下月1日至7日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为（ ） （A）
1 2（B）
1 3（C）
1 4开始（D）
1 6（5）执行如图所示的程序框图，输出的i值为
（ ）
i = 1, S = 0（A）2 （B）3
S?1 S = S + lg ii = i + 1否是输出 i （C）4 （D）5
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（6）“sin??0”是“角?是第一象限的角”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
?x?y?0,?（7）若x,y满足?x?1,则下列不等式恒成立的是（ ）
?x?y?0,?（A）y?1 （C）x?2y?0
（8）某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图①
②③④中，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（ ）
（B）x?2 （D）2x?y?1?0
正视图
① （A）①②③
② （B）①②④
③ （C）②③④
④ （D）①②③④
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）已知单位向量a与向量b=(1,?1)的夹角为（10）若复数z?π，则a?b?________. 4a?i，且z?R,则实数a=______． i（11）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a3??6，S1?S5，则公差d?________；
Sn的最小值为 .
22（12）对于eA:x?y?2x?0，以点(,)为中点的弦所在的直线方程是_____．
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?x,x?a,（13）设f(x)??2对任意实数b，关于x的方程f(x)?b?0总有实数根，则a的
?x,x?a.取值范围是 .
（14）设全集U={1,2,3,4,5,6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.
①若M?{2,3,6}，则eUM表示的6位字符串为 ； ②若A?{1,3}, 集合AB表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是 .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （15）（本小题满分13分）
已知数列{an}的前n项和为Sn, an?1?2an(n?N*)，且a2是S2与1的等差中项. （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{1}的前n项和为Tn,且对?n?N*,Tn??恒成立,求实数?的最小值. an(16) （本小题满分13分）
某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图： ．．．．．分组（日销售量） [ 0，10] （10，20] （20，30] （30，40] （40，50] 频率（甲种酸奶） 0.10 0.20 0.30 0.25 0.15 （Ⅰ）写出频率分布直方图中的a的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；
2222（Ⅱ）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s1，s2，试比较s1与s2的
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大小；（只需写出结论）
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售总量. （17）（本小题满分13分）
在?ABC中，sinA?sinBsinC. （Ⅰ）若?A?2π，求?B的大小； 3（Ⅱ）若bc?1,求?ABC的面积的最大值. （18）（本小题满分14分）
如图1，在梯形ABCD中，ADBC，AD?DC，BC?2AD，四边形ABEF是
ABCD，矩形. 将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1?平面
M为AF1的中点，如图2.
（Ⅰ）求证：BE1?DC； （Ⅱ）求证：DM//平面BCE1；
（Ⅲ）判断直线CD与ME1的位置关系,并说明理由．
CBF1E1
DAECDAMB
图1
F图2
（19）（本小题满分13分）
3x2y2已知椭圆M:2?2?1(a?b?0)过点A(0,?1)，且离心率e?. ab2（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若椭圆M上存在点B,C关于直线y?kx?1对称,求k的所有取值构成的集合S，并证明对于?k?S，BC的中点恒在一条定直线上. （20）（本小题满分14分）
已知函数f(x)?alnx?1(a?0). x（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
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（Ⅱ）若存在两条直线y?ax?b1，y?ax?b2(b1?b2)都是曲线y?f(x)的切线，求实数
a的取值范围；
（Ⅲ）若xf(x)?0?(0,1)，求实数a的取值范围.
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