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(Ⅰ)设|OP|＝2，求证：DO⊥平面PAC； (Ⅱ)设|OP|＝1，求二面角D－AC－P的余弦值．
【解析】解法一：(Ⅰ)连结DE，OE，设OE与AC的交点为G，连结PG，DG，DO，
因为△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径， 所以△ABC为直角三角形，又∠ABC＝60°，AB＝4， 故BC＝2，AC＝23，
1
因为E是弧AC中点，所以OE⊥AC，OG＝2BC＝1.
又因为DE⊥平面ABC，故DE⊥AC，所以AC⊥平面DEOO1， 1
故DO⊥AC.又OP＝2，
PO1DO11
所以在矩形DEOO1中，tan∠PGO＝OG＝2，tan∠DOO1＝OO＝2，
1故∠PGO＝∠DOO1，又∠DOO1＋∠DOG＝90°， 所以∠PGO＋∠DOG＝90°，所以DO⊥PG， 所以DO⊥平面PAC.(6分) (Ⅱ)在轴截面内有PO＝OG＝1， 所以PG＝2，DG＝17，DP＝13，
由AC⊥平面DEOO1，得∠DGP即为二面角D－AC－P的平面角，(10分) 334
在△DGP中由余弦定理可求得cos∠DGP＝34.(12分)
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解法二：(Ⅰ)在平面ABC中，过点O作AB的垂线，交弧EC于H，如图建立空间直角坐标系，
因为△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径， 所以△ABC为直角三角形，又∠ABC＝60°，AB＝4， 故BC＝2，AC＝23，
1?1?
?0，0，又OP＝2，所以A(0，－2，0)，C(3，1，0)，P，D(3，－1，4)， 2???1?→?→→?0，2，所以AC＝(3，3，0)，AP＝，OD＝(3，－1，4)， 2???→·→＝0，AP→·→＝0，故AC⊥OD，AP⊥OD，
所以ACODOD从而DO⊥平面PAC.(6分)
(Ⅱ)由OP＝1知P(0，0，1)，设平面PAC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则有→m＝0，??AP·? →?m＝0，?AC·
?2y1＋z1＝0，即?取m＝(－3，1，－2)， ?3x1＋3y1＝0，设平面DAC的法向量n＝(x2，y2，z2)，则有
→n＝0，?3x＋y＋4z＝0，??AD·2221?????－3，1，?，(10分) 即取n＝2??→?n＝0，?3x2＋3y2＝0，?AC·
m·n334则cos〈m，n〉＝|m|·|n|＝34，
334
所以二面角D－AC－P的余弦值为34.(12分) 19．(本小题满分12分)
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某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为p(0 (Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p)，求f(p)取最大值时p的值p0； (Ⅱ)现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以(Ⅰ)中确定的p0作为p的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a元的赔偿费用(a∈N)． (ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX； (ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？ 2【解析】(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p)，则f(p)＝C210p(1 －p)8， 8277∴f′(p)＝C210[2p（1－p）－8p（1－p）]＝90p(1－p)(1－5p)， 由f′(p)＝0，得p＝0.2.(3分) 且当p∈(0，0.2)时，f′(p)>0；当p∈(0.2，1)时，f′(p)<0.(6分) ∴f(p)的最大值点p0＝0.2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知p＝0.2， (ⅰ)令Y表示余下的70个水果中的不合格数，依题意知Y～B(70，0.2)，X＝10×1.5＋aY＝15＋aY. ∴E(X)＝E(15＋aY)＝15＋aE(Y)＝15＋70×0.2a＝15＋14a.(9分) (ⅱ)如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元， 105 由15＋14a>120，得a>14＝7.5，且a∈N， ∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种 11 植基地对这箱余下的所有水果作检测．(12分) 20．(本小题满分12分) 如图所示，在△ABC中，AB＝2，AB的中点为O，点D在AB的延长线上，且BD＝2－1.固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线Γ.以AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系． (Ⅰ)求曲线Γ的方程； (Ⅱ)过点P(－2，0)的直线l与曲线Γ交于不同的两点S，R，直线SB，RB分别→＝λBE→，RB→＝μBF→，求λ＋μ的取值范围． 交曲线Γ于点E，F.设SB 【解析】(Ⅰ)依题意得AB＝2，BD＝2－1，设动圆M与边AC的延长线相切于T1，与边BC相切于T2，则AD＝AT1，BD＝BT2，CT1＝CT2. 所以AD＋BD＝AT1＋BT2＝AC＋CT1＋BT2＝AC＋CT2＋BT2＝AC＋BC＝AB＋2BD＝22>AB＝2， 所以点C的轨迹Γ是以A，B为焦点，长轴长为22的椭圆，且挖去长轴的两个顶点． x22 则曲线Γ的方程为2＋y＝1(y≠0).(4分) (Ⅱ)设S(x1，y1)，R(x2，y2)，E(x3，y3)，由题意得B(1，0)， →＝(1－x，－y)，BE→＝(x－1，y)． 则SB1133→＝λBE→，得－y＝λy，即λ＝－y1. 由SB13 y 3 12
