已知集合X={x1,x2,?,x8}是集合S?{2001,2002,2003,L,2016,2017}的一个含有8个元素的子集.
（Ⅰ）当X?{2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017}时,
设xi,xj?X(1?i,j?8),
（i）写出方程xi?xj?2的解(xi,xj);
（ii）若方程xi?xj?k(k?0)至少有三组不同的解,写出k的所有可能取值.
（Ⅱ）证明:对任意一个X,存在正整数k,使得方程xi?xj?k(1?i,j?8)至少
有三组不同的解. 【解析】
（Ⅰ）（i）方程xi?xj?2的解有:(xi,xj)?(2007,2005),(2013,2011) （ii）以下规定两数的差均为正,则:
列出集合X的从小到大8个数中相邻两数的差:1,3,2,4,2,3,1; 中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）:4,5,6,6,5,4; 中间相隔二数的两数差:6,9,8,9,6; 中间相隔三数的两数差:10,11,11,10; 中间相隔四数的两数差:12,14,12;
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中间相隔五数的两数差:15,15; 中间相隔六数的两数差:16.
这28个差数中,只有4出现3次,6出现4次,其余都不超过2次, 所以k的可能取值有4,6
（Ⅱ）证明:不妨设2001?x1?x2?????x8?2017
记ai?xi?1?xi(i?1,2,???,7),bi?xi?1?xi(i?1,2,???,6),共13个差数.
假设不存在满足条件的k,则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6,从而
(a1?a2?????a7)?(b1?b2?????b6)?2(1?2?????6)?7?49①
又(a1?a2?????a7)?(b1?b2?????b6)?(x8?x1)?(x8?x7?x2?x1) ?2(x8-x1)?(x7?x2) ?2?16?14?46这与①矛盾,所以结论成立.
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