1.概念
若随机试验E的样本空间?充满n维空间Rn中的一个区域M,且落在区域
A?M中的概率仅同A的测度m(A)成正比,同A的形状无关,则P(A)?2.实例
m(A). m(?)例:甲乙两人约定在7:00-8:00之间见面,且两人在7:00-8:00之间任一时刻到达见面地点均是等可能的,并约定:先到者须等15分钟未等着方可离去,问两人能见面的概率为多少?
解:设A:两人能见面,且设甲乙两人分别在7点X分和7点Y分到达见面地点,
则???(X,Y)0?X?60,0?Y?60?
而A?(X,Y)0?X?60,0?Y?60,X?Y?15
602?4527?则P(A)?. 16602??(三).二项分布 1.贝努里试验
n重重复试验E满足:
(1).每次试验仅有2个结果A,A;
(2).每次试验中A出现的概率P(A)?p,A出现的概率P(A)?q都不变; (3).各次试验独立
则称随机试验E为n重贝努里试验. 2.二项分布B(n,p)
记n重贝努里试验中A出现的次数为X,则X?0,1,2,?,n,且
kkn?kP(X?k)?Cnpq
3.实例
例:一张试卷共20道四择一选择题,一人在毫无准备的情况下参加考试,问能通过考试的概率为多少?
1k1k320?k解:设X为答对的题数,则X～B(20,),即P(X?k)?C20 ()()444能通过考试的概率为P(X?12)?四、概率的计算---------公式法 (一). 加法公式
1. P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
1k320?kC()()?0.271 ?44k?122020k2. P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) 推广:P(A1?A2???An)??P(Ai)?i?1n1?i?j?n?P(AA)??P(AAA)??
ijijk1?i?j?k?n3. P(A?B)?P(A)?P(AB) (二). 乘法公式
1.条件概率:如果A,B是随机试验的两个事件，且P(A)?0，则称事件A发生的条件下事件B的概率为A发生的条件下B发生的条件概率，记为P(BA). 2.条件概率的计算:P(BA)?P(AB) P(A)3.乘法公式:P(AB)?P(A)P(BA)
推广:P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2) 4.实例
例:三个人通过抓阄分一张电影票,问公平吗? 解: 记Ai:第i人抓到阄, (i?1,2,3)
P(A1)?1, 3211??, 3232111???. 3213P(A2)?P(A1A2)?P(A1)P(A2A1)?P(A3)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)?(三). 全概率公式与贝叶斯公式
1. 全概率公式:设有一组事件A1,A2,?,An,B满足： (1). A1,A2,?,An两两互不相容,即AiAj??,(i?j).
(2). B?A1?A2???An 则 P(B)??P(Ai)P(BAi)
i?1n2. 贝叶斯公式
设有一组事件A1,A2,?,An,B满足：
(1). A1,A2,?,An两两互不相容,即AiAj??,(i?j). (2). B?A1?A2???An
P(AiB)则 P(AiB)??P(B)P(Ai)P(BAi)?P(A)P(BA)iii?1n.
例：用甲胎蛋白法检测肝癌。已知某地肝癌患病率P(A)?0.005，根据临床统计，正常人经甲胎蛋白法检测呈“+”性为5﹪，病人经甲胎蛋白法检测呈“+”性为95﹪，问随机抽一人发现呈“+”性，问该人患病的概率有多大？
解：记A：随机抽一人恰是肝癌患者，B：随机抽一人发现呈“+”性， 则P(A)?0.005,P(A)?0.995,P(BA)?0.95,P(BA)?0.05,
P(A)P(BA)P(AB)P?0.95 ?P(AB)??P?0.95?(1?P)?0.05P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?0.005?0.95=0.087，并不高！该方法有效吗？
0.005?0.95?0.995?0.05(四). 独立性公式 1.两个事件的独立性
(1)概念: 两个事件A,B满足P(BA)?P(B),称A,B相互独立. (2)本质: 两个事件A,B相互独立的充要条件为P(AB)?P(A)P(B). (3)性质: 下列4组事件中如有一组独立,则其余3组也独立. A,B; A,B; A,B; A,B. 2.三个事件的独立性 若三个事件A,B,C满足：
P(AB)?P(A)P(B), P(AC)?P(A)P(C),
P(BC)?P(B)P(C), P(ABC)?P(A)P(B)P(C)
则称事件A、B、C相互独立. 3.多个事件的独立性
一般地，设A1,A2,?,An是n个事件，
如果对任意k,(1?k?n),任意的1?i1?i2???ik?n，都具有等式 P(Ai1Ai2?Aik)?P(Ai1)P(Ai2)?P(Aik) 则称n个事件A1,A2,?,An相互独立.
例：设有n枚导弹攻击敌机，每枚导弹击中敌机的概率为0.6，问欲以99﹪的把握击中敌机，至少需要几枚导弹？
解：设需n枚，并设Ai：第i枚导弹击中敌机，则P(Ai)?0.6，据题意
P(A1?A2??An)?1?P(A1)P(A2)?P(An)?1?0.4n?0.99，
n?4.3,取n?5,即至少需要5枚导弹.
五、概率的计算举例
例1. 设A,B,C为三个事件?已知?P(A)?0.3,P(B)?0.8,P(C)?0.6,
P(AB)?0.2,P(AC)?0,P(BC)?0.6,
试求P(A?B),P(AB),P(A?B?C)
解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0?3?0?8?0?2?0?9? P(AB)?P(A)?P(AB)?0?3?0?2?0?1?
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
?0?3?0?8?0?6?0?2?0?0?6?0?0?9?
注? 因为ABC?AC ? 所以0?P(ABC)?P(AC)?0,即P(ABC)?0 例2? 将一颗骰子投掷两次? 依次记录所得点数? 试求?
