事件与概率
一、事件 (一).事件的概念 1.现象
确定性现象:结果事先可以肯定 随机现象: 结果事先无法肯定 2.随机试验
对随机现象进行的试验和观察称为随机试验.具有以下特点: (1).可在相同条件下重复进行；
(2).试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; (3).一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现 3.样本空间
随机试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为?????,试验的每一个结果称为一个样本点?. 4.随机事件:
样本空间的子集A??称为随机事件. 5. 事件的种类
(1).基本事件:由一个样本点组成的单点集. (2).必然事件??? (3).不可能事件??? (二).事件间的关系
1.事件的包含：事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A,记为A?B或B?A.
2.事件的相等：若A?B且B?A,称事件A,B相等,记为A?B. (三).事件的运算
1.事件的和:“事件A与B至少有一个发生”是一个新的事件,称为事件A与
B的和,记为A?B或A?B.
2.事件的积:“事件A与B同时发生”是一个新的事件,称为事件A与B的积,
记为AB或A?B.
3.事件的差:“事件A发生而B不发生”是一个新的事件,称为事件A与B的差,记为A?B.
4.互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即AB??，则称事件A与B是互不相容的事件
5.对立事件：“A不发生”是一个新的事件,称为A的对立事件,记为A. (四).事件的运算性质：
1.交换律:A?B?B?A,AB?BA
2.结合律:(A?B)?C?A?(B?C), (AB)C?A(BC) 3.分配律:(A?B)C?AC?BC,(AB)?C?(A?C)(B?C) 4、对偶律A?B?A?B,可推广为：(五).实例
例1：设A,B,C为三个事件?用A,B,C的运算表示下列事件? (1) A,B,C都发生? ABC
(2) A,B发生?C不发生? ABC或AB?C (3) A,B,C都不发生? ABC
(4) A,B中至少有一个发生而C不发生? (A?B)C或(A?B)?C (5) A,B,C中至少有一个发生? A?B?C
(6) A,B,C中至多有一个发生? ABC+ABC+ABC+ABC或 AB+BC+AC (7) A,B,C中至多有两个发生? A+B+C或ABC或 ABC+ABC+ABC+ABC?ABC?ABC?ABC
(8) A,B,C中恰有两个发生? ABC+ABC+ABC
例2：观察张明的寿命情况，记A表示事件?张明能活到50岁，B表示事件?张明能活到55岁，问A,B具有何种关系？（填? ，?等） 例3：设A,B,C是同一试验E的三个事件,
AB?A?B
?Akk??Ak,k?Akk??Ak.
k则P{(A?B)?(A?B)?(A?B)(A?B)}?0
二、概率 (一).概率的概念
1.概率: 随机事件A发生的可能性大小的量度称为A的概率,记为P(A). 2.频率: 若事件A在n次重复试验中出现nA次,称比值
验中出现的频率,记为fn(A).
1.概率的性质: (1) 非负性:P(A)?0 (2) 规范性:P(?)?1
(3) 可列可加性：设A1,A2,?,Ak,?是一列两两互不相容的事件，即
AiAj??，i,j?1,2,?且i?j (i?j),有
nA为A在n次重复试n P(A1?A2???Ak??)?P(A1)?P(A2)???P(Ak)??
推广:
有限可加性：设A1,A2,?,An是一列两两互不相容的事件，即AiAj??，
i,j?1,2,?n且i?j (i?j),有
P(A1?A2???An)?P(A1)?P(A2)???P(An). (4) 单调不减性：若事件A?B，则P(A)?P(B) (5) 互补性：P(A)?1?P(A). 三、概率的计算---------模型法 (一). 古典概型 1.概念
若随机试验E的样本空间?????满足， (1).有限性： ????1,?2,?,?n?仅有n个样本点;
(2).等可能性：各样本点出现的几率一样,即P??1??P??2????P??n?.
则称随机试验E为古典概型，其概率定义如下： 设事件A??中含k个样本点，则有P(A)?2.实例
例1:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的
概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩,以T表示某个孩子是女孩，
k n?={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT},n?8 A?{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT},k?7
P(A)?k7? n8例2:从五双鞋子中任选4只,问这四只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多
少?
4解:设A--这四只鞋子中没有两只能配成一双,n?C10, k?C54?24
C54?2413P(A)?1?P(A)?1??. 421C10（如何求k？
第一步：从五双鞋子中任选4双鞋子，共有C54种选法。 第二步：在选出的四双鞋子中，各选1只，共有24种选法。 第三步：在选出的四只鞋子中没有两只能配成一双的情形有
k?C54?24）
1211C52?C5?C4?C2?C213? 或 P(A)? 421C10例3:一个班级中有n个人(n?365),问至少有两人生日相同的概率为多少? 解:设A:n个人生日各不相同,则P(A)?365?364???(365?n?1),
365n365?364???(365?n?1) n365 至少有两人生日相同的概率为P(A)?1?(二). 几何概型
