高中数学必修4
π
2x－?＋1 A．y＝sin?4??1π
x＋?－1 C．y＝sin??24?π
2x－?＋1 B．y＝sin?2??1π? D．y＝sin??2x＋2?－1
1
解析：选B 将函数y＝sin x的图象上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标保持不
2变)，得到函数y＝sin 2x的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin 2xπππx－?＋1＝sin2x－＋＋1的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2??4?421的图象．故选B.
由图象确定函数的解析式
π
[典例] 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)?A>0，ω>0，|φ|<
2数的解析式．
[解] [法一 逐一定参法] 由图象知A＝3， T＝
5π?π?
－－＝π， 6?6?2π
＝2， T
?的图象的一部分，求此函
∴ω＝
∴y＝3sin(2x＋φ)．
π
－，0?在函数图象上， ∵点??6?π
－×2＋φ?. ∴0＝3sin??6?
ππ
∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
63πππ
2x＋?. ∵|φ|<，∴φ＝.∴y＝3sin?3??23[法二 待定系数法]
π??5π?
由图象知A＝3.∵图象过点??3，0?和?6，0?，
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?∴?5πω
?6＋φ＝2π，
π2x＋?. ∴y＝3sin?3??
πω
＋φ＝π，3
??ω＝2，解得? π
??φ＝3.
[法三 图象变换法]
ππ
－，0?在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长由A＝3，T＝π，点??6?6度而得，
ππx＋?，即y＝3sin?2x＋?. 所以y＝3sin 2?3??6??
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．
[活学活用]
如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式． 解：由图可得：A＝3，T＝ 2π
2|MN|＝π.从而ω＝T＝2， 故y＝3sin(2x＋φ)，
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π
又∵2×＋φ＝2 kπ，k∈Z，
32π
∴φ＝－＋2 kπ，k∈Z.
32π2x－?. ∴y＝3sin?3??
正弦型函数图象的对称性 2π4x＋?的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标[典例] 在函数y＝2sin?3??是________．
kππ2π
[解析] 设4x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)
346
2πkππ
4x＋?图象的对称中心坐标为?－，0?(k∈Z)． ∴函数y＝2sin?3???46?π?取k＝1得??12，0?满足条件． π?[答案] ??12，0?
正弦型函数对称轴、对称中心的求法
y＝Asin(ωx＋φ) [活学活用]
将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y轴最近的一条对称轴方程为________．
解析：由4x＋
kππ2ππ
＝kπ＋，得x＝－， 32424
对称轴 π令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 2对称中心 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标 π
取k＝0时，x＝－满足题意．
24π
答案：x＝－
24
三角函数在实际生活中的应用
[典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间π
2t＋?，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回t(s)的变化规律为s＝4sin?3??
高中数学必修4 答下列问题：
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解] 列表如下，
t π2t＋ 3π2t＋? sin?3??s
描点、连线，图象如图所示．
π－ 60 0 0 π 12π 21 4 π 3π 0 0 7π 123π 2－1 －4 5π 62π 0 0
ππ
2t＋?，得s＝4sin ＝23， (1)将t＝0代入s＝4sin?3??3所以小球开始振动时的位移是23 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
解三角函数应用问题的基本步骤
[活学活用]
