f′(x) f(x) － 单调递减 0 极小值 ＋ 单调递增 由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，极小值是f(1)＝1.
2(2)由g(x)＝x2＋alnx＋x， a2
得g′(x)＝2x＋x－x2.
若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数， 则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立．
2a
即不等式2x－x2＋x≥0在[1，＋∞)上恒成立， 2
也即a≥x－2x2在[1，＋∞)上恒成立． 22
令φ(x)＝x－2x2，则φ′(x)＝－x2－4x. 2
当x∈[1，＋∞)时，φ′(x)＝－x2－4x<0， 2
∴φ(x)＝x－2x2在[1，＋∞)上为减函数， ∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0. 故实数a的取值范围为[0，＋∞)． 11．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1·x2＝1，求实数a的值； (2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a. (1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，
2a
从而x1x2＝18＝1，所以a＝9.
(2)Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)>0，
∴不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．
