第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝的周期性和奇偶性，培养学生的数学抽象核心素养． 2．通过周期性和奇偶性的学习，培养学生的Acos(ωx＋φ)的周期．(重点) 3．掌握函数y＝sin x和y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、运用数形结合研究问题的思想，提升学生的直易混点) 观想象核心素养.
1．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 周期 最小正周期 奇偶性 y＝sin x 2kπ(k∈Z且k≠0) 2π 奇函数 y＝cos x 2kπ(k∈Z且k≠0) 2π 偶函数 思考：函数y＝|sin x|，y＝|cos x|是周期函数吗？ [提示] 是，周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π.
π
1．下列函数中，周期为的是( )
2A．y＝sin
2C．y＝cos 4
xxB．y＝sin 2x D．y＝cos 4x
2ππ2π
D [根据公式T＝可知＝，得ω＝4，故应选D.]
ω2ω
π??2．函数y＝2sin?2x＋?是( ) 2??A．周期为π的奇函数 C．周期为2π的奇函数
B．周期为π的偶函数 D．周期为2π的偶函数
π??B [y＝2sin?2x＋?＝2cos 2x，它是周期为π的偶函数．] 2??
3．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝________． 6 [由已知得f(x＋2)＝f(x)， 所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝6.]
【例1】 求下列函数的周期： π??(1)y＝sin?2x＋?； 4??(2)y＝|sin x|.
思路点拨：(1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立． 法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算． (2)作函数图象，观察出周期．
π??[解] (1)法一：(定义法)y＝sin?2x＋?
4??ππ????＝sin?2x＋＋2π?＝sin?2（x＋π）＋?，
44????所以周期为π.
π?2π2π?法二：(公式法)y＝sin?2x＋?中ω＝2，T＝＝＝π.
4?ω2?(2)作图如下：
三角函数的周期问题及简单应用
观察图象可知周期为π.
1．本例(2)中函数变成“y＝|cos x|”，图象如何？ [解] 作图如下：
观察图象可知周期是π.
2．本例(2)中函数变成y＝sin |x|或y＝cos |x|，图象如何？ [解] 作图如下：
由图象可知y＝sin |x|不是周期函数，y＝cos |x|的图象与y＝cos x图象相同，仍为周期函数，周期为2π.
求三角函数周期的方法：
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，2π
ω≠0)的函数，T＝.
|ω|
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
π
提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝.
|ω|
1．利用周期函数的定义求下列函数的周期． (1)y＝cos 2x，x∈R；
?1π?(2)y＝sin?x－?，x∈R.
4??3
[解] (1)因为cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π.
π??1
(2)因为sin?（x＋6π）－?
4??3
π??1?1π?由周期函数的定义知，?1π?＝sin?x＋2π－?＝sin?x－?，y＝sin?x－?的周期为6π.
4?4?4??3?3?3
三角函数奇偶性的判断 【例2】 (1)若函数y＝2sin(x＋φ)为偶函数，则φ的值的集合为________． (2)判断下列函数的奇偶性：
?1π?①f(x)＝sin?－x＋?；
2??2
②f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； 1＋sin x－cosx③f(x)＝.
1＋sin x思路点拨：(1)结合y＝cos ωx为偶函数→利用诱导公式→ πφ＝＋kπ(k∈Z) 2(2)
2
?(1)?φ?
?φ＝kπ＋π，k∈Z?
? [因为y＝cos ωx为偶函数，y＝sin ωx为奇函数，所以?2??
π
2
根据诱导公式“奇变偶不变”的特点，要使通过诱导公式后函数变成y＝2cos x或y＝－2cos
x，只有φ＝kπ＋(k∈Z)．]
1
(2)[解] ①显然x∈R，f(x)＝cosx，
21?1?∵f(－x)＝cos?－x?＝cosx＝f(x)， 2?2?∴f(x)是偶函数．
??1－sin x＞0，
②由?得－1＜sin x＜1，
?1＋sin x＞0，????π
解得定义域为?x?x∈R且x≠kπ＋，k∈Z?，
2???
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)， ∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)] ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，
