寒假开学高一数学练习
一、填空题
1. 已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为____________．1或3
sinα－cosα12.如果＝，那么tanα＝____________． 2
3sinα＋cosα7
11π2π2π
3.已知角α(0≤α≤2π)的终边过点?sin，cos?，则α＝____________．6
3??3
4. 设向量a、b满足|a|＝25，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为____________． (－4，－2)
5. 设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}．若A∪B＝R，则a的取值范围为______________．(－∞，2]
解析：当a≤1时，A＝{x|x≤a或x≥1}，显然符合A∪B＝R；当a>1时，A＝{x|x≤1或x≥a}，则a－1≤1，∴ a≤2.∴ 1 πππ 6. 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x＋θ)?θ∈?－，??是偶函数，则θ的值为________． 6??22?? πππ 解析：据已知可得f(x)＝2sin?x＋θ＋?，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)， 323?? πππππ 又由于θ∈?－，?，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意． 326?22?3x2－11 －，3? 7. 函数y＝2的值域为____________．??2?x＋28.函数f(x)?asinx?bxcosx?2ctanx?x2 若f(?2)?3，则f(2)? 5 a3x＋a3x 9. 已知a＝2－1，则x－x的值为____________．22－1 a＋a 1 10. 已知函数f(x)对任意的实数满足：f(x＋3)＝－，且当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2， f（x） 当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋?＋f(2 016)＝________．336 11 解析：∵ 对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，∴ f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－＝－ f（x）f（x＋3） 1 ＝f(x)，∴ f(x)是以6为周期的周期函数． 1－ f（x） ∵ 当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴ f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0. ∴ f(1)＋f(2)＋?＋f(6)＝1， ∴ f(1)＋f(2)＋?＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋?＋f(12)＝?＝f(2 011)＋f(2 012)＋?＋f(2 016)＝1，∴ f(1) 2 016 ＋f(2)＋?＋f(2 016)＝1×＝336. 6 1－x??2，x≤0， 11. 设函数f(x)＝?方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等实数根，则实数a的取 ?f（x－1），x>0，? 值范围为________．(－∞，4) 解析：作出函数y＝f(x)的图象，由图象可知当a<4时，直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图象恒有两个公共点． →→?ABAC?→→ ＋12. O是平面内一定点，A、B、C是平面内不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ?，→→??|AB||AC|? λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．（填“内”、“外”、“重”、“垂”、“中”） － 2x 填志愿，更轻松！ 第1页 共7页 →→→→ABACABAC→→ 内 解析：是与AB同向的单位向量，是与AC同向的单位向量，故＋是与∠BAC →→→→|AB||AC||AB||AC| 的角平分线共线的向量，∴ 点P的轨迹一定通过△ABC的内心． 13. 下列命题中，正确的序号是 . ①③④ ①y??2cos(??2x)是奇函数; ②若?,?是第一象限角,且?? ③x??72?,则sin??sin?; 3?是函数y?3sin(2x?3?)的一条对称轴; 84??3? ④函数y?sin(?2x)的单调减区间是[k??,k??](k?Z).488 ??x2?2ax;x?17，若方程f(x)?a2，有且仅有两个不等实根，14．已知实数a?0,f(x)??16?log3x,x?1且较大的实根大于3，则实数a的取值范围为 . (47,4] 7二、解答题 15. (本小题满分14分) 如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P、Q是单位圆上的两点， π O是坐标原点，∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)． 6 34?π ，，求cos?α－?的值； (1) 若Q??55?6?? →→ (2) 设函数f(α)＝OP·OQ，求f(α)的值域． 34 解：(1) 由已知可得cosα＝，sinα＝， 55ππ3π34133＋4 ∴ cos?α－?＝cosαcos＋sinαsin＝×＋×＝. 665252106?? πππ31→→ (2) f(α)＝OP·OQ＝?cos，sin?·(cosα，sinα)＝cosα＋sinα＝sin?α＋?， 226?3??6? ππ4ππ33 ∵ α∈[0，π)，∴ α＋∈?，?，－＜sin?α＋?≤1，∴ f(α)的值域是?－，1?. 3?323?3???2? 16. (本小题满分14分)已知向量a＝(cosλθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sinλθ)，λ，θ∈R. (1) 求|a|2＋|b|2的值； (2) 若a⊥b，求θ； 填志愿，更轻松！ 第2页 共7页 π (3) 若θ＝，求证：a∥b. 20 (1) 解：因为|a|＝cos2λθ＋cos2[（10－λ）θ]， |b|＝sin2[（10－λ）θ]＋sin2λθ， 所以|a|2＋|b|2＝2. (2) 解：因为a⊥b， 所以cosλθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sinλθ＝0. 所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin10θ＝0， kπ 所以10θ＝kπ，k∈Z，所以θ＝，k∈Z. 10 π (3) 证明：因为θ＝， 20 所以cosλθ·sinλθ－cos(10－λ)θ·sin(10－λ)θ λπλππλππλπ＝cos·sin－cos?－?·sin?－? 2020?220??220?λπλπλπλπ ＝cos·sin－sin·cos＝0， 20202020所以a∥b. 17. (本小题满分14分)已知△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,?3), 点P的横坐标为14， ????????????????且OP??PB，点Q是边AB上一点,且OQ?AP?0. (1)求实数?的值与点P的坐标； (2)求点Q的坐标； ????????????(3)若R为线段OQ上的一个动点，试求RO?(RA?RB)的取值范围. ????????????????解：(1)设P(14,y)，则OP?(14,y),PB?(?8,?3?y)，由OP??PB，得 7(14,y)??(?8,?3?y)，解得???,y??7，所以点P(14,?7)。 4???????? (2)设点Q(a,b)，则OQ?(a,b)，又AP?(12,1?6)在边AB上，所以 ????????，则由OQ?AP?0，得3a?4b①又点Q12b?3?，即3a?b?15?0② ?4a?6联立①②，解得a?4,b?3，所以点Q(4,3) ????(3)因为R为线段OQ上的一个动点，故设R(4t,3t)，且0?t?1，则RO?(?4t,?3t)，????RA?(2?4t,9?3t)?????R?O(R?A)， ????RB?(6?4t,?3?3t)， ????????RA+RB?(8?8t,6?6t)，则 ????R4?B(????20??t58?t8?5?tt????????????0?，故tt(?01RB))的取值范RO?(RA? 填志愿，更轻松！ 第3页 共7页 围为[?25,0]. 2 18．(本小题满分16分) 如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD＝2x，梯形ABCD的周长为y. (1) 求出y关于x的函数f(x)的解析式； (2) 求y的最大值，并指出相应的x值． 解：(1) 作OH、DN分别垂直DC、AB交于H、N，连结OD. 由圆的性质，H是中点，设OH＝h，h＝OD2－DH2＝4－x2. 又在直角△AND中，AD＝AN2＋DN2＝（2－x）2＋4－x2＝8－4x ＝22－x， 所以y＝f(x)＝AB＋2AD＋DC＝4＋2x＋42－x，其定义域是(0，2)． (2) 令t＝2－x，则t∈(0，2)，且x＝2－t2，所以y＝4＋2·(2－t2)＋4t＝－2(t－1)2＋10，当t＝1，即x＝1时，y的最大值是10. 2x＋m 19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x为奇函数． 2－1 (1) 求实数m的值； (2) 用定义证明函数f(x)在区间(0，＋∞)上为单调减函数； (3) 若关于x的不等式f(x)＋a＜0对区间[1，3]上的任意实数x都成立，求实数a的取值范围 － 2x＋m2x＋m (1) 解：∵ f(－x)＝－f(x)，∴ －x＝－x，∴ m＝1. 2－12－1 2x＋12 (2) 证明：f(x)＝x＝1＋x. 2－12－1 2（2x2－2x1）22 设0＜x1＜x2，∵ f(x1)－f(x2)＝－＝， 2x1－12x2－1（2x1－1）（2x2－1） 又1＜2x1＜2x2，2x1－1＞0，2x2－1＞0，2x2－2x1＞0， 2（2x2－2x1） ∴ ＞0，∴ f(x1)＞f(x2)，∴ 函数f(x)在区间(0，＋∞)上为单调减函数． （2x1－1）（2x2－1） (3) 解：∵ f(x)＋a＜0对区间[1，3]上的任意实数x都成立，∴ a＜－f(x)对区间[1，3]上的任意 2x＋12x＋1 实数x都成立．∵ f(x)＝x在区间(0，＋∞)上为减函数，∴ f(x)＝x在区间[1，3]上为减 2－12－1 函数，∴ f(x)的最大值是f(1)＝3，∴ －f(x)的最小值是－3，∴ a＜－3. 20．(本小题满分16分) 填志愿，更轻松！ 第4页 共7页
