第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛 A 卷解析（小学高年级组）
总分：150 分时间：60 分钟
一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅 有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号
内．）
1. 现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动．规定：如果甲去，
那么乙也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去，那么丁不去．最后去 参加活动的两个人是（）． （A）甲、乙
（B）乙、丙 （C）甲、丙 （D）乙、丁
【答案】B 【题型】逻辑推理、逆否命题 【解析】在逻辑推理中，原命题成立，则逆否命题也成立． （ 1）甲去则乙去，逆否命题：乙不去则甲也不去 （2）丙不去则乙不去，逆否命题：乙去则丙去 （3）丙去则丁不愿意去，逆否命题：丁去则丙不去 从（2）出发可以看出答案为 B. 题目要求有两个人去，可以使用假设法，若甲去，则乙去，乙去则丙也去．三个人去，矛盾， 所以甲不去．若丙不去则乙不去，那么只有丁去，矛盾，所以丙去．丙去则丁不去，由两个 人去得到结论，乙要去．所以答案是 B，丙和乙去．
2. 以平面上任意 4 个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（）个．
（A）5 （B）2 （C）4 （D）3 【答案】C 【题型】最值、构造 【解析】4 个点，最多可以构造 C4 ? 4 个三角形． 如图所示，共有图中四个三角形均为钝角三角形．
3 3. 桌上有编号 1 至 20 的 20 张卡片，小明每次取出 2 张卡片，要求一张卡
片的 编号是另一张卡片的 2 倍多 2，则小明最多取出（）张卡片．
（A）12 （B）14 （C）16 （D）18
【答案】A 【题型】倍数、枚举 【解析】由于有 2 倍多 2 的关系，所以 1、4、10 只能取其中两个，2、6、14 只能取其中两 个，3、8、18 只能取其中两个．即这里至少有 3 个数取不到，而 11、13、15、17、19 不满 足 2 倍多 2 的关系，也无法取到．合计至少有 8 个数取不到，取 12 个数为最多的情况.列举 最多的一种情况：1、4；2、6；3、8；5，12；7，16；9，20.取到了最多的 12 个数的情况．
4. 足球友谊比赛的票价是 50 元，赛前一小时还有余票，于是决定降价．结果
售出的票增加了三分之一，而票房收入增加了四分之一，那么每张票售价降 了（）元．
25 50 （A）10 （B） （C） （D）25
2 3
【答案】B 【题型】方程 【解析】设共有 x 张票，赛前一小时的余票降价 y 元. 由题意得： 1125 ? (x ? 50) ? ?[x ? (50 ? y)], y ? 432 5. 一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间 66 分．那么，这只
旧钟的 24 小时比标准时间的 24 小时（）．
（A）快 12 分
【答案】D （B）快 6 分 （C）慢 6 分 （D）慢 12 分
【题型】时钟问题 【解析】时针速度为每分钟 0.5 度，分针速度为每分钟 6 度.分钟每比时针多跑一圈，即多跑 360 度，时针分针重合一次.经过 360 720 ??分钟，旧钟时针分针重合一次，需要经过标准 6 ? 0.5 11
(24 ? 60) ?66?1452 分钟，所以比标准 时间 66 分钟；则旧钟的 24 小时，相当于标准时间的 720 11 时间 24 小时对应的 24 ? 60 ?1440 分钟多了 1452-1440=12 分钟，即慢了 12 分钟 6. 在右图的 6×6 方格内, 每个方格中只能填
A, B, C , D, E , F 中的某个字母，要求每行、每列、每个
标有粗线的 2×3 长方形的六个字母均不能重复．那么， 第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母
从左到右的顺序是（）． （A） E, C, D, F （B） E , D, C , F
（C） D, F , C , E（D）D, C , F , E 【答案】C
【考察知识点】数阵图：数独
【分析】每行每列每个 3*2 的粗线方格均必有 A、B、C、D、E、F 各一个，选择一个合适 的位置，尝试即可快速得出答案。以下提供一种解法：
为第一列和第二列已经有 A，所以左下角 3*2 粗线方格的 A 只能填在第三列；因为第五列 和第四行已经有 A，所以右中位置的 3*2 粗线方格的 A 只能填在第四列；因为第五行和第 如图所示，第一列和第二行已经有 A，所以左上角 3*2 粗线方格的 A 只能填在第二列；因
五列已经有 A，所以右下角 3*2 粗线方格的 A 只能填在第六列；以此类推，可以填出所以 的数.
二、填空题(每小题 10 分，共 40 分)
7. 601 8. 过正三角形 ABC 内一点 P ，向三边作垂线，垂足依次为 D, E , F ,连接
AP, BP, CP ．如果正三角形 ABC 的面积是 2028 平方厘米，三角形 PAD 和三 角形 PBE 的面积都是 192 平方厘米，则三角形 PCF 的面积为________平方 厘米．
【答案】630
【题型】几何：一半模型 【解析】
A
A
①②
③ F
D ④
??
D
F
P E
C
B
B
⑩ P ⑤ ⑨ ⑧⑦ ⑥
E
C
过点 P 作 AB , AC , BC 的平行线，则 S1 = S2 ，S3 = S4 ，S5 = S6 ，S 7 = S8 ，S9 = S10 ，S11 = S12 ；
所以 S =S = 1 S
阴影 白
2 △ABC
2 2
= 1 ? 2028 = 1014cm ，则 S = 1014 - 192 ? 2 = 630cm 2 △PCF
9. 自然数 2015 最多可以表示成________个连续奇数的和． 【答案】31 【题型】计算 【解析】 点评：牢记天下无双，个数平方！指从 1 开始的连续奇数的和，等于奇数个数的平方， 即：1 + 3 + 5 + L + (2n - 1)= n ． 2015 能表示成连续奇数的和， 则 2015 = 1 + 3 + 5 + L + (2n - 1) - 1 + 3 + 5 + L + (2 m - 1) = n 2 轾 臌 2 - m 轾 臌 2 所以能写成 n - m 个连续奇数的和， 2015 = 5 ?13 ?31= (n + m)(n - m)， 把 2015 表示成 2015 = 65 ?31时， n - m 最大为 31，所以最多能写成 31 个连续奇数的和．
10. 由单位正方形拼成的 15×15 网格，以网格的格点为顶点作边长为整数的正
方 形，则边长大于 5 的正方形有________个． 【答案】393 【题型】计数：几何计数 【解析】 点评：在格点中寻找正方形一定要想方向可能会有正着的的斜着的，此题只要求找边长为整 数的正方形，还不算特别恶心． （1）正着的： 最小为 6 ? 6 的正方形，如图，共10 ?10 个；依次 7 ? 7 的有 9 ? 9 个…… 10?11?212222所以正着的正方形共10 + 9 + 8 + L + 1 = = 385 个． 6 （2）斜着的：要求边长为整数，所以可以从特殊勾股数进行尝试 10
8
6
可寻找到如图边长为 10 的正方形，共 4 个（可往右方和下方平移）构造弦图，大正方形的 边长是 14，每一个边长为 14 的正方形内可以构成 2 个边长为 10 的正方形。 综上，可找到 385 + 4 ? 2 =393 个边长大于 5 的正方形．
