圆；单位圆|z|＝1.
(2)当|z－z1|＝|z－z2|时，表示以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．
已知复数z1＝i(1－i)，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值． 【思路点拨】 (1)利用模的定义求解；
(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合．
【规范解答】 (1)z1＝i(1－i)＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)， ∴|z1|＝2＋－
223
3
＝22.
(2)法一 |z|＝1，∴设z＝cos θ＋isin θ， |z－z1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝＝
θ－9＋42
2
＋θ＋.
2
πθ－4
π
当sin(θ－)＝1时，
4|z－z1|取得最大值9＋42， 从而得到|z－z1|的最大值22＋1.
法二 |z|＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点(2，－2)． ∴|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，则|z－z1|max＝22＋1.
已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥
BC.求顶点C所对应的复数z.
【解】 设顶点C对应的复数z＝x＋yi，x，y∈R， ∵OA∥BC，|OC|＝|BA|， ∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|， 2y－6??1＝x＋2，即???x2＋y2＝32＋42，
??x1＝－5解得?
?y1＝0?
??x2＝－3，
或?
?y2＝4.?
∵|OA|≠|BC|，
∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.
复数问题实数化的思想 复数的代数形式z＝x－yi(x，y∈R)，从实部虚部来理解一个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题．
已知x，y为共轭复数，且(x＋y)－3xyi＝4－6i，求x，y.
【思路点拨】 由x，y为共轭复数设出x，y代入条件等式，利用复数相等转化为实数方程组．
【规范解答】 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi. 又(x＋y)－3xyi＝4－6i， ∴4a－3(a＋b)i＝4－6i.
?4a＝4，?∴?22
??a＋b＝2，??a＝1，∴???b＝1
22
2
2
2
2
??a＝1，
或???b＝－1
??a＝－1，
或???b＝1
??x＝1＋i，
∴???y＝1－i
??x＝1－i，
或???y＝1＋i
??a＝－1，或???b＝－1，
??x＝－1＋i，或???y＝－1－i
??x＝－1－i，???y＝－1＋i.
设存在复数z同时满足下列两个条件： ①复数z在复平面内的对应点位于第二象限； ②z·z＋2iz＝8＋ai(a∈R)． 求a的取值范围．
【解】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由①得x<0，y>0. 由②得x＋y＋2i(x＋yi)＝8＋ai， 即x＋y－2y＋2xi＝8－ai， 由复数相等的充要条件，得
??x＋y－2y＝8，
?
?2x＝a，?
2
2
2
22
22
2
??x＋y－
即?
?a＝2x.?
22
＝9，
∵x＋(y－1)＝9表示以(0,1)为圆心，3为半径的圆，且x<0，∴－3≤x<0， ∴－6≤2x<0，即－6≤a<0， ∴a的取值范围是[－6,0)．
最新精品语文资料
