1111111C3C5C3C5C2C2C151P(??3)?1?1?1?,P(??4)?1?1?1?1?.C8C7C656 C8C7C6C556 ???????9分
故?的分布列为
? P 1 2 3 4 58 1556 556 156 ?????10分
515513E??1??2??3??4??85656562． ?????????12分
【思路点拨】（1）记事件A为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”,由奇数加偶数可得结果；（2）?所有可能的取值为1,2,3,4, 计算出概率，列出分布列最后根据公式得到期望。
【题文】18．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，?ADC?90?，平面
PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA?PD?AD?2，BC?1，
CD?3．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
?（2）若二面角M?BQ?C为30，设PM?t?MC，试确定 t 的值．
【知识点】平面与平面垂直的证明; 实数的取值G10 G11 【答案】【解析】（1）见解析；（2）t?3
1解析：（1）证法一：∵AD∥BC，BC=2AD，Q为AD的中点，
- 9 -
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ． ???????1分 ∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． ???????2分 又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，???????4分 ∴BQ⊥平面PAD． ???????5分 ∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． ???????6分
1证法二：AD∥BC，BC=2AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，
∴CD∥BQ． ???????1分 ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． ???????2分 ∵PA=PD，∴PQ⊥AD． ???????3分 ∵PQ∩BQ=Q PQ、BQ?平面PBQ， ???????4分 ∴AD⊥平面PBQ． ???????5分 ∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD． ???????6分 （2）法一：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD． ∵面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PQ⊥面ABCD．?????7分 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为n?(0,0,1)；??8分
Q(0,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，C(?1,3,0)．
设M(x,y,z)，则
PM?(x,y,z?3)，MC?(?1?x,3?y,?z)??9分 t?x???1?t?x?t(?1?x)??3t?y?t(3?y)?y???1?t???z?3?t(?z)?3z??1?t，???10分 PM?t?MC,∴??t3t3?QM???,,?1?t1?t1?t??QB?(0,3,0)??， 在平面MBQ中，，
∴平面MBQ法向量为m?(3,0,t)．??12分
cos30??∵二面角M?BQ?C为30°，∴
n?mn?m?t3?0?t2?32，得t?3??14分
法二：过点M作MO//PQ交QC于点O，过O作OE⊥QB交于点E，连接ME， 因为PQ?面ABCD,所以MO⊥面ABCD，由三垂线定理知ME⊥QB，
- 10 -
则?MEO为二面角M?BQ?C的平面角。????9分（没有证明扣2分） 设CM?a，则PM?a?t，PC?7，
MOCM13a??MO??t7?????10分 ?PQCP，1?OE⊥QB，BC⊥QB，且三线都共面，所以BC//OE
EOQOPMtt?a???EO?1?t7 ????11分 ?BCQCPC，?在Rt?MOE中
E E O tan?MEO?tan30??MOEO，???13分
MO33??t3 解得t?3 ?????14分 ?EO【思路点拨】（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边
形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．法二：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3． 【题文】19．（本小题满分14分）
2Sn?2?(?1)?an*?a?Sn 已知数列n的前n项和为n，，n?N．
（1）求数列
?an?的通项公式；
n11112?2?an?的前n项和为Tn，An=T1+T2+T3+??+Tn．试比较An与n?an的大
（2）设数列
小．
【知识点】递推公式；等比数列的通项公式；数列的和；D1 D3 D4
【答案】【解析】（1）
an?n*,n?N2n（2）见解析
12， ?????1分
解析：（1）由
a1?S1?2?3a1?a1?
- 11 -
?2??2?Sn?2???1?an?Sn?1?2???1?an?1?n??n?1?由，其中n?2
?2??2?an?Sn?Sn?1???1?an?1???1?an?n?1??n? ???????3分 于是
an1an?1???n?2?n2n?1整理得， ???????4分
?an?1??所以数列?n?是首项及公比均为2的等比数列. ???????5分
an1?1?????n2?2?n?1?1n*a?,n?Nnn2?2n ???????6分
n?1an1?1?????2?2?（2）由（1）得n2nan?n,Tn?1?2?3?于是
?12n
n?n?1?121??1,??2???2Tnn?n?1??nn?1?n? ???8分
??1??11?An?2??1?????????2??23?1??2n?1??????nn?1???n?1 ???????9分
22n?12nn2n?12n?2nan，问题转化为比较n2与n?1的大小，即n2与n?1的大小 又n2nnf?n??2,g?n??,nn?1f?n?1??f?n??2n??n?n?2??1????n?n?1???2设
???????10分
fn?1）?（fn）＞0，∴当n?3时f(n)单调递增， 当n?3时，（fn）?（f4）?1，而（gn）＜1， ∴当n?4时，（fn）＞（gn）∴当n?4时，（ ???????12分 fn）?g（n）经检验n=1，2，3时，仍有（ ???????13分
fn）＞（gn），因此，对任意正整数n，都有（即
An＜2nan ???????14分
【思路点拨】（1）根据已知条件中的递推关系式先得到
a1，再由由
- 12 -
