日本第十八届算术奥林匹克决赛（中国区）试题
（2009年8月9日10:00~12:00）
【问题1】
请写出分别满足下列条件并且是由数字2，0，9组成的（如920，2009）整数： ⑴写出一个四位数，要求它是平方数；
⑵写出一个五位数，要求它是256的倍数； ⑶写出一个九位数，要求它是9的倍数．
注意：如果存在2个以上的整数符合条件，写出一个即可；如果没有符合条件的整数，就答“没有”；数字2，0，9至少出现一次．
【问题2】
在右图的9个方格中各填入一个1~9的数字，使其横、竖相连的3个方格中的数字之和都是15，斜向相连的3个方格中的数字之和一个是15，另一个斜向相连的3个方格中的数字之和不是15． 请写出4个不是15的斜向相连的3个方格中的数字之和．
【问题3】
在正方体（图1）的6个面上写有除0之外的整数（允许相同的整数写2次以上），将此正方体切成图2那样的四面体．图2的四面体由4个正三角形围成，所以叫做正四面体．
在这个正四面体的各个面里写有该三角形三边所在原来正方体面上的3个数字的和． 例如：
DAC95AH1BHC10AHC3E23614FG1214F6图1F118图3图2
当正方体如图1那样写着整数时，图2的面ACF写有?1?2?3??6；面ACH写有?1?5?3??9；面AHF写有?3?6?2??11；面CFH写有?5?3?6??14．
现在，把写着别的整数的正方体切成正四面体时，正四面体上写着如图3那样的整数：这个正方体各面的整数写法一共有多少种？
【问题4】
如图，△ABC中，?A?90?． 已知DF?FE，BH?HC，BG∶GE?7∶3，DB?18厘米，EC?15厘米，问：四边形DBCE的面积是多少平方厘米？
A
D FE 18cm15cm G
BC H
【问题5】
求4个两位数．要求其中每两个整数的和与差按从大到小的顺序排列是： 93，83，81，49，47，46，44，37，34，12，10，2．
【问题6】 A、B二人为练习马拉松围着公园不停地跑．二人都戴着手表，但他们的手表都走的不准，都有走慢的问题．
二人在某个时刻从某地点出发，出发地点有走时正确的钟表，他们都按正确时刻对了手表，然后同时向相反的方向跑去．
二人在跑的过程中，每通过一次出发地点，都把手表调成正确的时间．当他们第2次、第3次、第4次相遇时，各自的手表分别是表中的时刻（出发时的相遇不算．另外，这几次的相遇地点都不是出发地点）． A跑的速度，B跑的速度，A手表的慢速，B手有的慢速，互相之间可能都不一样，但各自的速度是一定的（途中没有加速）． 求二人出发的时刻．
A B 第2次 第3次 第4次
【问题7】 在△ABC内部取点O，使OA?OB?OC，△OAB，△OBC，△OCA的面积分别是19.8平方厘米，13.8平方厘米，19.2平方厘米． 当在△ABC的内部取点P，使?PAB??OAC，?PBA??OBC时，求△PAB的面积．
12时00分 11时57分 12时48分 13时51分 13时41分 13时40分 APOBC参考答案
【问题1】 【解析】
第1问：
如果有这样的整数，四位的平方数的千位一定是2到9，所以除了452到542，以及952到992以外不用考虑别的了．
其次，不存在个位为2的平方数．所以，个位是0或9中的一个．这些数由个位是0，3，7的整数自乘之后得到．
因此，只需考虑472，502，532，972的情况．计算这些平方数，只有472?2209是由2，0，9组成的，且2，0，9中的每一个都用到了．
第2问： 从低位开始考虑．
首先，因为是2的倍数，所以个位是0或2．
其次，因为是4的倍数，后两位必须是00，20，92中的一种． 再次，因为是8的倍数，后三位必须是000，200，920，992中的一种．
最后，因为是16的倍数，后四位必须是0000，9200，9920，0992，2992中的一种．
需要求的整数是包含且仅包含2，0，9的五位数．因此，后四位不能是0000或2992，否则无法包括这三个数字．另外，因为是32的倍数，后五位必须是99200，29920，20992中的一个．
逐一检查这三个整数，发现只有20992是256的倍数． 第3问：
如果是这样的整数，因为是9的倍数，所以数字和必须是9的倍数． 0和9是9的倍数，而数字和是9的倍数，所以2的个数必须是9的倍数． 但是，2最多有7个，最少有1个，个数不能是9的倍数． 所以，这样的整数不存在．
答：（第1问）2209 （第2问）20992 （第3问）没有
【问题2】 【解析】
A B C D E F G H I 考虑正中间的格里面填的数E．纵横的3格的数之和都等于15．另外，两条对角线中有一条的和为15．因此，D?E?F?15，B?E?H?15，A?E?I或C?E?G?15．
考虑1到9中选3个数和为15的全部组合，其中包含E的至少要有3组．写出3个数之和为15的全部组合：
(1，5，9)，(1，6，8)，(2，6，7)，(3，4，9)，(2，5，8)，(2，4，8)，(3，5，7)，(4，5，6)
共有8种组合．包含各个数的组的数目分别为：
1：2组，2：3组，3：2组，4：3组，5：4组，6：3组，7：2组，8：3组，9：2组． 因此，可以填入E中的数是2，4，5，6，8中的一个．
其次，考虑E中的数和待求的对角线的数的和的关系．有(A?E?I)?(C?E?G)?(B?E?H)?(D? E?F)?(A?B?C?D?E?F?G?H?I)?3E成立．A到I的和也就是1到9的和，即45．
因此，(A?E?I)?(C?E?G)?30?45?3E
也就是说，两条对角线之和的和是15?3E．另外，因为知道一条对角线的和为15，所以另一条对角线之和为E的3倍．之前已经知道了能填入E的数字为2，4，5，6，8之一，所以该对角线的和为6，12，15，18，24．现在要求的是15以外的和，所以有6，12，18，24这4个答案．可以从下面的图得到这4个答案．
8611863429 942 8375537476255371 186 9942答：6，12，18，24
【问题3】 【解析】
DAC甲乙HB戊丁FG丙E己如图，将立方体的各面写着的数字用甲到己表示．这样，
10?甲?丙?戊……①，
12?甲?乙?丁……②， 14?丁?戊?己……③， 8?乙?丙?己……④
比较①?②和③?④，甲?甲?乙?丙?丁?戊?22，己?己?乙?丙?丁?戊?22 所以，甲?己．
同样，比较①?③和②?④，以及①?④和②?③，可以知道戊?乙?2，丁?丙?4． 根据上面的，只有面ABCD和面EFGH写的数字总是相等的． 将求出的关系式代入①到④，都能得到乙?丙?己?8．
现在，只要将乙、丙、己选好正整数，则按照上面的关系式，甲、丁、戊也是正整数．所以，使等式成立的乙、丙、己的选法数目就是答案．
如果乙填1，则丙可以填1到6，6种方法； 如果乙填2，则丙可以填1到5，5种方法； 如果乙填3，则丙可以填1到4，4种方法； 如果乙填4，则丙可以填1到3，3种方法； 如果乙填5，则丙可以填1或2，2种方法； 如果乙填6，则丙只能填1，1种方法．
综上，能够成为题目中那样的正四面体的立方体中，数字的填写方法为1?2?3?4?5?6?21种． 答：21种
【问题4】 【解析】
