几何变换之对称
轴对称图形——等腰三角形
【例 1】 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60o，求三角形三个内角的度数．
【巩固】已知BD是等腰?ABC一腰上的高，且?ABD?50o，求?ABC三个内角的度数．
【例 2】 (08年宣武初三一模考试)已知?ABC中，?A?90?，?B?67.5?.请画一条直线，
把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种不．．
同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.
AABC
【巩固】在?ABC中，AB?AC．若过?ABC一个顶点的直线可将?ABC分成两个等腰三角
形，求?ABC各内角的度数．
【巩固】(08年大兴初三一模考试)已知菱形ABCD中，?A?72?，请设计两种不同的分法，
将菱形ABCD分割成四个三角形，使得分割成的每个三角形都是等腰三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，例如第20题图，不要求写出画法，不要求证明.）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法.
D54?36?18?72?18?72?36?54?36?
BC
DDDA72?CACACACB第20题图B分法1B 分法2B
分
【例 3】 在其内部添加一些钢管BC，CD，DE，EF，?MON是一个钢架，?MON?10o，
FG，…添加的钢管长度都与OB相等．
⑴当添加到第五根钢管时，求?FGM的度数．
⑵假设OM、ON足够长，能无限地添加下去吗?如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根?
FNBD CE
OGM
1
【巩固】(初二第12届希望杯1试)如图，?ABC中，?A?30o，CD是?BCA的平分线，ED是?CDA的平分线，EF是?DEA的平分线，DF?FE，求?B.
BDFCEA
【例 4】 ?ABC中，AM?AN，CN?CP，AB?AQ，CB?CG．试比较?MNP与?GBQ的大小．
QCGNRAMBP
【巩固】已知?ABC中?ACB?90o，点D、E在AB上，且AD?AC，BE?BC，求?DCE.
QCGNRAMBP【例 5】 ?ABC中，AM?AN，CN?CP，AB?AQ，CB?CG．试比较?MNP与?GBQ的大小．
【巩固】已知?ABC中?ACB?90o，点D、E在AB上，且AD?AC，BE?BC，求?DCE.
【例 6】 在正方形ABCD所在平面上找一点P，使?APB是等腰直角三角形，这样的点P你
能发现几个?请作出这些点．
P2P1P3BAP4（P6）CD（P5）
【巩固】如图，在正方形ABCD所在平面上找点P,使?PAB、?PBC、?PCD、?PDA同
时为等腰三角形，这样的点P你能发现几个?请作出这些点．
ADP1B
2
P2C
【巩固】把正方形改成正三角形．已知如图，在正?ABC所在平面上找点P使?PAB、?PBC、
?PCA同时为等腰三角形，作出这些点．
P1ABP2CP3
【例 7】 如图，点P为等腰三角形ABC的底边BA的延长线上的一点，PE?CA的延长线
于点E，PF?BC于点F，AD?BC于点D．PE、PF、AD之间存在着怎样的数量关系?
CFDP
【巩固】如图，点P为正三角形ABC内任意一点，PE?AC于点E，PF?BC于点F，
PG?AB于点G，AD?BC于点D．PE、PF、PG、AD之间存在怎样的数量关系?
CFDEABEPAG B【例 8】 点P为正三角形ABC外的一点，且PE?AC于点E，PF?BC于点F，PG?AB于点G，AD?BC于点D此时PE、PF、PG、AD之间存在怎样的数量关系?
CCFDFBPG AEB⑵
DEG AP⑴
【巩固】P为等腰三角形ABC的底边AB上的任意一点，PE?AC于点E，PF?BC于点
3
F，AD?BC点D，如图，求证：PE?PF?AD．
CEAPDFB
轴对称与折叠问题
【例 9】 (09甘肃省兰州市)如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，
则纸片展开后是
【例10】 如图所示，AD为?ABC的中线，?ADC?45?，把?ADC沿AD对折，点C落在
点C?的位置，则BC?和BC之间的数量关系为___________．
C'AA． B． C． D．
BDC
【巩固】（2004南平）已知：如图，在△ABC中，BC=8，AD是BC边上的高，D?为垂足，
将△ABC折叠使点A与点D重合，则折痕EF的长为_________．
【例11】 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB?8，BC?10，
求EC的长．
ADEBFC
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