2.1. 2指数函数及其性质
一、教材分析
本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1.2指数函数及其性质的内容 二、三维目标
1．知识与技能
（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； （2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；
（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等． 2．过程与方法
通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （2）培养学生认识、接受新事物的能力 三、教学重点
教学重点：指数函数的的概念和性质． 四、教学难点
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质 五、教学策略
发现教学法
经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
六、教学准备
回顾初中时的整数指数幂及运算性质，
an?a?a?a???a,a0?1(a?0)七、教学环节 引入课题
1． （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关
注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长
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速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．
我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
1 按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到○
2000年的多少倍？
2 到2050年我国的人口将达到多少？ ○
3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？ ○
2． 上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073（x∈N，x≤20）能否
构成函数？
3． 一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以
时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？ 4． 上面的几个函数有什么共同特征？ 新课教学
（一）指数函数的概念
一般地，函数y?a(a?0,且a?1)叫做指数函数（exponential function），其中x
xx
*
是自变量，函数的定义域为R．
1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； 注意：○
2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零○和1．
巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P68例2、3） （二）指数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：
2
1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：
1x31x（2）y?()
2（1）y?() （3）y?2x （4）y?3x （5）y?5x
x2．从画出的图象中你能发现函数y?2的图象和函数y?()的图象有什么关系？可x否利用y?2的图象画出y?()的图象？
12x12x3．从画出的图象（y?2x、y?3x和y?5x）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？ 图象特征 函数性质 a?1 0?a?1 a?1 函数的定义域为R 非奇非偶函数 函数的值域为R +0?a?1 向x、y轴正负方向无限延伸 图象关于原点和y轴不对称 函数图象都在x轴上方 函数图象都过定点（0，1） 自左向右看， 图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 图象上升趋势是越来越陡 自左向右看， a0?1 增函数 减函数 图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 图象上升趋势是越来越缓 x?0,ax?1 x?0,ax?1 x?0,ax?1 函数值开始增长较慢，到了某一值后x?0,ax?1 函数值开始减小极快，到了某一值后 3
增长速度极快； 5． 利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
减小速度较慢； （1）在[a，b]上，f(x)?ax(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]； （2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R； （3）对于指数函数f(x)?ax(a?0且a?1)，总有f(1)?a； （4）当a?1时，若x1?x2，则f(x1)?f(x2)；
（三）典型例题
例1．在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？ (1)y＝2
x＋2
；(2)y＝(－2)；(3)y＝－2；(4)y＝π；
xxxx(5)y＝x；(6)y＝(a－1)(a>1，且a≠2)．
解 只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；
(1)中解析式可变形为y＝2·2＝4·2，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；6)中令b＝a－1，则y＝b，b>0且b≠1，所以是．
例2 截止到1999年底，我们人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?
解 设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿， 1999年底，我国人口约为13亿；
经过1年(即2000年)人口数为13＋13×1%＝13(1＋1%)亿；
经过2年(即2001年)人口数为13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)亿； 经过3年(即2002年)人口数为13(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)亿； ??
经过x年人口数为13(1＋1%)亿；则y＝13(1＋1%). 当x＝20时，y＝13(1＋1%)≈16(亿)． 答 经过20年后，我国人口数最多为16亿． 作业布置
2．函数f(x)＝a(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有( ) A．f(xy)＝f(x)f(y) B．f(xy)＝f(x)＋f(y) C．f(x＋y)＝f(x)f(y) D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
x＋yxy解析：f(x＋y)＝a＝aa＝f(x)f(y)．故选C. 答案：C
4
x20
2
2
32
2
x2xxxx3．某厂去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种元件的产量比上一年增长p%，此种规格电子元件年产量y随年数x变化的函数关系是____________________．
x答案：y＝a(1＋p%)(0≤x≤m)
xx4．已知a，b＞1，f(x)＝a，g(x)＝b，当f(x1)＝g(x2)＝2时， 有x1＞x2，则a，b的大小关系是( )
A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．不能确定 解析：∵a＞1，b＞1， 由图示知b＞a.
答案：C
八、板书设计
第二章 基本初等函数（I） 2.1 指数函数
2.1. 2指数函数及其性质 九、教学反思
通过本堂课的学习，同学们能够独立完成相关习题。
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