（2）y =2tanx?tan2??x,?0,?2??； ?（3）y =xlnx,(0,??)。
5、设f（x）在区间I上连续，并且在I上仅有唯一的极值点x0。证明：若x0是f的极大（小）值点，则x0必是f（x）在I上的最大（小）值点。
6、把长为l的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？
7、有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该怎样？
8、设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为a1,a2,?an。问以怎样的数值x表达所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小。
9、求一正数a，使它与其倒数之和最小。 10、求下列函数的极值：
（1）f（x）=|x(x2?1)|；
x(x?1)x?x?12422（2）f（x）=；
（3）f（x）=(x?1)(x?1)。
11、设f（x）=alnx?bx2?x在x1?1,x2?2处都取得极值，试求a与b；并问这时f在x1与x2是取得极大值还是极小值？
12、在抛物线y2?2px哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短。
13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC= a km的B城，轮船运费的单价是?元/km，火车运费的单价是?元/km（?>?），试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省。
§5函数的凸性与拐点
1、确定下列函数的凸性区间与拐点：
132（1）y =2x?3x?36x?25； （2）y =x?；
x122（3）y =x?； （4）y =ln(x?1)；
x1（5）y =。 21?x2、问a和b为何值时，点（1，3）为曲线y =ax?bx的拐点？
5
3233、证明：
（1）若f为凸函数，?为非负实数，则?f为凸函数； （2）若f，g均为凸函数，则f+g为凸函数；
（3）若f为区间I上凸函数，g为J?f（I）上凸增函数，则g·f为I上凸函数。 4、设f为区间I上严格凸函数。证明：若x0?I为f的极小值点，则x0为f在I上唯一的极小值点。
5、应用凸函数概念证明如下不等式：
a?b（1）对任意实数a，b，有e2?12(e?e)；
ab（2）对任何非负实数a，b，有2arctan??a?b???arctana?arctanb。 2??6、证明：若f，g均为区间I上凸函数，则F（x）= max{f（x），g（x）}也是I上凸
函数。
7、证明：（1）f为区间I上凸函数的充要条件是对I上任意三点x1?x2?x3，恒有
1x1x2x3f(x1)f(x2)?0； f(x3) ??11（2）f为严格凸函数的充要条件是Δ>0。 8、应用詹森不等式证明： （1）设ai?0(i?1,2,?,n)，有
n1a1?1a2???1an?na1a2?an?a1?a2???ann；
（2）设ai,bi?0(i?1,2,?,n)，有
1nnn1p?q?p?q?aibi???ai???bi?，
?i?1??i?1?
?i?1其中p?0,q?0,1p?1q?1。
§6函数图象的讨论
按函数作图步骤，作下列函数图象：
（1）y =x?6x?15x?20； （2）y =
32x222(1?x)?x；
（3）y = x – 2arctanx； （4）y =xe
；
6
（5）y =3x?5x； （6）y =e253?x2；
2（7）y =(x?1)x3； （8）y =|x|3(x?2)2。
总练习题
1、证明：若f（x）在有限开区间（a，b）内可导，且limf(x)?limf(x)，则至少
x?a?x?b?存在一点??(a,b)，使f?(?)?0。
2、证明：若x>0，则 （1）x?1?x?1412x??(x)12，其中
14??(x)?12；
（2）lim?(x)?x?0,lim?(x)?x???。
3、设函数f在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且a·b>0。证明存在??(a,b)，使得
1abf(b)?f(?)??f?(?)。
a?bf(a)4、设f在[a，b]上三阶可导，证明存在??(a,b)，使得 f(b)?f(a)?12(b?a)[f?(a)?f?(b)]?1123(b?a)f???(?)。
5、对f（x）=ln（1+x）应用拉格朗日中值定理，试证：对x≥0有 0?1ln(1?x)?1x?1。
6、设a1,a2,?,an为n个正数，且
1?a?a2???an f（x）=?1?n?xxx?x?。 ??证明：（1）limf(x)?x?0na1a2?an；
（2）limf(x)?max{a1,a2,?,an}。
x??7、求下列极限： （1）lim(1?x)x?1?21/ln(1?x)； （2）limxex?ln(1?x)x2；
x?0 7
xsin21x（3）limx?0sinx。
(n?2)8、设h>0，函数f在U(a;h)内具有n+2阶连续导数，且f内的泰勒公式为
f(a?h)?f(a)?f?(a)h???1n?2f(n)(a)?0，f在U(a;h)(a)n!h?nf(n?1)(a??h)(n?1)!hn?1,0???1。
证明：lim??h?0。
9、设k>0，试问k为何值时，方程arctanx – kx = 0存在正实根。
10、证明：对任一多项式p（x），一定存在x1与x2，使p（x）在（-∞，x1）与（x2，+∞）分别严格单调。 11、讨论函数
1?x??x2sin,x?0, f(x)??2 x?0,x?0,?（1）在x=0点是否可导？
（2）是否存在x=0的一个邻域，使f在该邻域内单调？
12、设函数f在[a，b]上二阶可导，f?(a)?f?(b)?0。证明存在一点??(a,b)，使得
|f??(?)|?4(b?a)2|f(b)?f(a)|。
13、设函数f在[0，a]上具有二阶导数，且|f??(x)?M，f在（0，a）内取得最大值。试证
|f?(0)|?|f?(a)|?Ma。
14、设f在[0，+∞）上可微，且0?f?(x)?f(x),f(0)?0。证明：在[0，+∞）上f（x）≡0。
15、设f（x）满足f??(x)?f?(x)g(x)?f(x)?0，其中g（x）为任一函数。证明：若f(x0)?f(x1)?0(x0?x1)，则f在[x0，x1]上恒等于0。
16、证明：定圆内接正n边形面积将随n的增加而增加。 17、证明：f为I上凸函数的充要条件是对任何x1，x2?I，函数 ?(?)?f(?x1?(1??)x2)
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