西安工业大学北方信息工程学院毕业设计（论文）
?11d(Xm)2d(Ym)2d(Yp2)2)?()) ?())?ml2?2?m((223262dtdtdt?mlcos??m(2lcos??lcos?)?2mlcos? 21122311111由于系统在?1,?2广义坐标下没有外力作用，所以有：
?d?L?l?dt?????0???11 （2.16） ?d?L?l???0?dt???2???2????将式（2.16）展开，并对?1和?2求代数方程，最后表示为：
??????? ?1=f1(x,?1,?2,x ,?1?,?2,x) （2.17）
????????2=f1(x,?1,?2,x ,1,?2,x)
取平衡位置时各变量的初值为零，
?到：
?????x,?,?,x,?,?1212?=?0,0,0,0,0,0?
将式（2.17）在平衡位置附近进行泰勒级数展开，并线性化处理，可以得
???????kx?k??k??kx?k??k??kx （2.18） 1111211321415116217???????kx?k??k??kx?k??k??kx 2212212322425126227??利用Matlab计算出：
k12?3g(m1?2(m2?m3))?86.69 （2.19）
(4m1?3(m2?4m3))l1k13??9gm2??21.62
2(4m1?3(m2?4m3))l13(2m1?m2?4m3)?6.64
2(4m1?3(m2?4m3))l1?9g(m1?2(m2?m3))??40.31
2(4m1?3(m2?4m3))l23g(m1?3(m2?m3))?39.45
(4m1?3(m2?4m3))l210
k17?k22?k23?西安工业大学北方信息工程学院毕业设计（论文）
k27?3(m1?l2m3)??0.088
2(4m1?3(m2?4m3))l22.1. 3 倒立摆的空间状态方
设二级倒立摆的空间状态方程为：
??x?t??Ax?t??Bu?t? （2.20） ?yt?Cxt?Dut????????为了与控制理论的表达习惯相统一，用表示u?t?被控对象的输入力F。取
???状态变量x1?x,x2??1,x3??2,x4?x,x5??1,x6??2，则可得到如下直线二级倒立摆系统：
?????????x?x??1????????????0???x2?1????0???????????2??0x??3?X(t)????????????x??0???x?4??????0???????????x5??1??0??????????x??????6????2??????x??1?Y(t)????????01????????0??2???0?0??00????00?X(t)??0??0??086.69????0?40.31???1??0Y(t)??????0?100??0??0?00010??????0?00001?(t)??X??u(t)00000??1??k17?k12k13000?（2.21） ???k22k23000?k27??0000000??0???0?u(t)10000?(t)?X????01000???0??最后得出系统的状态方程为：
0000?21.6239.45000100010100??0??0?010?????0?001???X(t)???u(t)000?1???6.64?000? （2.22）
???000???0.088?00??0???0?u(t)00?(t)?X????00???0??11
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其中
00100??0?0?00010???000001?A???
000000???086.69?21.62000????0?40.3139.45000??0??0????0? B??? （2.23）
1???6.64?????0.088??100000?? C??010000????001000???0?? D??0????0??2.2 二级倒立摆系统定性分析
在得到系统的数学模型之后，为了进一步的了解系统性质，需要对系统的特性进行分析，最主要的是系统的稳定性、能控性以及能观性。
系统的稳定性分析一般可以应用LaSalle's theorem或者李亚普诺夫稳定性理论。最常用的是后者。对于系统在平衡点邻域的稳定性可以根据前面得到的系统线性模型分析。一般摆杆竖直向上是系统的不稳定平衡点，需要设计控制器来镇定系统。既然需要设计控制器镇定系统，那么就要考虑系统是否能控。值得关心的是系统在平衡点附近的性质，因而可以采用线性模型来分析。在进行倒立摆的定性分析之前，先介绍线性控制理论中关于能控性、能观性和相对能控性的判定定理。
?定理1(能控性判据) n阶线性定常连续系统X?AX?Bu状态完全能控，当且仅当系统的能控性矩阵:
S=[B AB A2B … An?1B] （2.24）
满秩，即rank(S)=n。特别，当输入控制量u(t)为标量时，能控性矩阵S为方阵；rank(S)=n等价于S的行列式值det(S)≠0。
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定理2（能观性判据） n阶线性定常连续系统
???X?AX?Bu （2.25） ???Y?CX状态完全能观，当且仅当系统的能观性矩阵：
V= [ C CA …CAn?1
rank(V)=n等价于V的行列式值det(V)≠0。
根据上式（2.21）、（2.22）二个判定定理，即可进行二级倒立摆系统能控性、能观性的定性分析。
同时，亦可利用Matlab对系统进行定性分析。 2.2.1 倒立摆系统的稳定性分析
编写Matlab程序：
>> A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 0;0 86.69 -21.62 0 0 0; 0 -40.31 39.45 0 0 0]
eig(A) %求矩阵A的特征值 运行结果为： ans=
10.0438 5.0262 -10.0438 -5.0262 0 0
由上结果可知有一个开环极点S=10.0438位于S平面的右半部，即开环系统不稳定。
2.2.2 倒立摆系统的可控性分析
编写如下做Matlab程序：
>>A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 0;0 86.69 -21.62 0 0 0;0
-40.31 39.45 0 0 0]
B=[0 0 0 1 6.64 -0.088]'
C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0] D=[0 0 0]'
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]T （2.26）
满秩，即rank(V)=n。特别，当输出量y(t)为标量时，能观性矩阵V为方阵；
