③静力学方面
横截面上法向内力元素?dA构成空间平行力系 可能组成三个内力分量
FN???dA，My??z?dA，Mz??y?dA
AAA当梁上仅有外力偶Me作用，则由截面法，上式中FN和My均等于零 而Mz即为横截面上的弯矩M，其值等于Me 由静力学关系可得
FN???dA?0
AMy??z?dA?0
AMz??y?dA?M
A整理得到
??A?EIyzEMy??zydA??0
pA?FN?ydA??0
Mz?由于
EESzE??Ay2dA?EIz??M
不可能等于零，故必有Sz?0
?于是z轴必通过横截面形心，从而确定了中性轴的位置 y轴是横截面的对称轴，所以Iyz必等于零
由于y轴为对称轴，其左右两侧对称位置处的法向内力元素?dA对y轴的矩必等值而反向 故横截面上?dA所组成的力矩My必等于零 由Mz的表达式推导中性层曲率E1?的表达式 1??M EIz1上式表明，在相同弯矩下，EIz值越大，梁的弯曲变形（曲率?）就越小 EIz称为弯曲刚度
可得等直梁在纯弯曲时横截面上任一点处正应力为
??My Iz式中，M为横截面上的弯矩；Iz为横截面对中性轴z的惯性矩；y为所求应力点的纵坐标 问题的几何方面为平面假设
物理方面有各纵向线段间相互不挤压，材料在线弹性范围内且拉伸和压缩弹性模量相等 是应用这些公式的限制条件
式子中，将弯矩M和坐标y按规定的正负号代入，所得的正应力?为正值，即为拉应力 具体计算中，也可不考虑弯矩和坐标的正负号，而直接根据梁变形的情况来判断 即以中性层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的应力为压应力 在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力值最大
当中性轴z为截面的对称轴时，则横截面上的最大正应力为
?max?若令
Mymax IzIz ymaxM Wz3
Wz?则
?max?Izbh3/12bh2??矩形截面Wz? h/2h/26Iz?d4/64?d3??圆形截面Wz? d/2h/232式子中，Wz称为弯曲截面系数，其值与横截面的形状和尺寸有关，其单位为m
对于中性轴为对称轴的横截面，其最大拉应力和最大压应力的数值相等
对于中性轴为非对称轴的横截面，其最大拉应力和最大压应力的数值不等
应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离yt,max和yc,max直接代入公式计算
4.2 纯弯曲理论的推广
横力弯曲：当梁上有横向力作用时，横截面上一般既有弯矩又有剪力 梁的横截面既有正应力，又有切应力
由于切应力的存在，亮的横截面将发生翘曲
在于中性层平行的纵截面上，还有横向力引起的挤压应力
因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向线段间互不挤压的假设均不能成立 弹性理论的分析结构指出，在均布荷载作用下的矩形截面简支梁
当其跨长与截面高度之比为l/h大于5时，若按纯弯曲计算正应力，足以满足精度要求 且l/h越大，误差越小
?max?M(x) Wz
4.3 梁的正应力强度条件
等直梁的最大正应力发生在最大弯矩的横截面上距中性轴最远的各点处 而该处的切应力等于零
纵截面上由横向力引起的挤压应力可略去不计
横截面上的最大工作正应力所在各点处于单轴应力状态 得强度条件
?max?[?] 将上式改写为
Mmax Wz材料在弯曲与轴向拉伸时的强度并不相同
脆性材料要求梁的最大工作拉应力和最大工作压应力（两者往往并不发生在同一横截面上）要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力
5．梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件 5.1 梁横截面上的切应力
横力弯曲的情况下，梁的横截面上有剪力，相应的将有切应力
①矩形截面梁
以m-m和n-n两横截面假想地从梁中截取长为dx的微段 一般情况下，该两横截面上的弯矩并不相等 因而两截面上同一y坐标处的正应力也不相等
再用平行于中性层的纵截面AA1B1B假想地从微段截取体积元素mA1B1n
**则在端面mA1和B1n上，与正应力对应的法向内力FN与F1N2也不相等 '为维持体积元素mA1B1n的平衡，在纵面AB1上必有沿x方向的切向内力dFS
故在纵面上就存在相应的切应力?
为推导切应力的表达式，还需确定切应力沿截面宽度的变化规律以及切应力的方向 对于狭长矩形截面，由于梁的侧面上无切应力 故横截面上侧边各点处的切应力必与侧边平行
在对称弯曲情况下，对称轴y处的切应力必沿y方向 且狭长矩形截面上切应力沿截面宽度的变化不可能大 作如下两个假设
横截面上各点处的切应力均与侧边平行 横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等
确定横截面上切应力的变化规律后，即可由静力学关系导出切应力的计算公式 设横截面m-m和n-n上的弯矩分别为M和M?dM
**两端截面上的法向内力FN1与FN2分别为
*FN1??*?1dA??*FN2'My1MM*dA?ydA?Sz 1*?AA*IAIzIzz(M?dM)M?dM*??*?2dA??*y1dA?Sz AAIzIz式子中，Sz?*?A*y1dA为横截面上距中性轴为y的横线以外部分面积A*对中性轴的静矩
'纵截面AB1上由?dA所组成的是切向内力dFS'
由假设横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等以及切应力互等定理可知 在纵截面上横线AA1上各点处的切应力?的大小相等 在微段dx长度上，?的变化为高阶微量可略去不计 从而认为?在纵截面AB1上为一常量，于是得
'''dFS'??'b?dx
代入平衡方程
?F经化简后可得到
x**'?0，FN2?FN1?dFS?0
*dMSz ???dxIzb'由弯矩与剪力间的微分关系
dM?FS，上式即为 dx*FSSz' ??Izb*FSSz ??Izb由切应力互等定理，???，即得矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力
'
式子中，FS为横截面上的剪力；Iz为整个横截面对其中性轴的惯性矩；b为矩形的宽度；
**为横截面上距中性轴为y的横线以外部分面积A对中性轴的静矩 Sz?的方向与剪力FS的方向相同
FS、Iz和b对某一横截面而言均为常量
*横截面上的切应力?沿截面高度（即随坐标y）的变化情况，由部分面积静矩Sz与坐标y之
间的关系所反映
若取bdy1为面积元素dA，可得
S??代入可得，
*zh2ybh2y1bdy1?(?y2)
24FSh2??(?y2)
2Iz4?沿截面高度按二次抛物线规律变化
当y??h时，即在横截面上距中性轴最远处，切应力??0 2当y?0时，即在中性轴上各点处，切应力达到最大值?max，将y?0代入可得
?max或
FSh2FSh23FS???? 38Iz8?bh/122bh?max??3FS
2A式中，A?bh，为矩形截面的面积
对于其他形状的对称截面，均可按上述的推导方法，求得切应力的解 但对于侧边与对称轴不平行的截面（例如梯形截面），前面所作假设必须作相应变动
*中性轴一侧的半个横截面面积对中性轴上的静矩Sz为最大
所以中性轴上各点处的切应力为最大
其他形状的对称截面，横截面上的最大切应力通常也均发生在中性轴上的各点处 只有宽度在中性轴处显著增大的截面（如十字形截面），或某些变宽度的截面（如等腰三角线截面）等除外
②工字型截面梁
对于工字型截面梁腹板上任一点处的切应力? 由于腹板是狭长矩形，前述假设依然适用，于是
*FSSz ??Izd*式中，d为腹板厚度；Sz为距中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩
*在腹板范围内，Sz是y的二次函数
故腹板部分的切应力?沿腹板高度同样按二次抛物线规律变化 其最大切应力也发生在中性轴上，其值为
?max?**FSSz,maxIzd
式中，Sz,max为中性轴一侧的部分面积对中性轴的静矩
对于工字型截面翼缘上的切应力，由于翼缘上、下表面上无切应力，而翼缘又很薄
