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24.解：（1）猜想CD∥EB． 证明：连接DE．
∵中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成30°的夹角，菱形的锐角为60° ∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°， ∴∠BED=60°÷2×2+30°=90°， ∴∠CDE=∠BED， ∴CD∥EB．
（2）如图2，连接AD、BD． 由（1）知，∠BED=90°， ∵BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD=45°， 同理，∠ADC=45°
又由（1）知，∠CDE=90°，
∴∠ADC+∠CDE+∠EDB=180°， ∴点A、D、B三点共线．
BE=2OE=2×10×cos30°=10√3cm， 同理可得，DE=10√3cm， 则BD=10√6cm，
同理可得，AD=10√6cm， AB=BD+AD=20√6≈49cm．
答：A，B两点之间的距离大约为49cm．
25.
解：（1）PN=√3PM，
理由：如图1，作PF⊥BC， ∵∠ABC=90°，PE⊥AB， ∴PE∥BC，PF∥AB， ∴四边形PFBE是矩形， ∴∠EPF=90° ∴P是AC的中点， ∴PE=1
1
2BC，PF=2AB，
∵∠MPN=90°，∠EPF=90°， ∴∠MPE=∠NPF， ∴△MPE∽△NPF， ∴????
????
????????=????=????， ∵∠A=30°，
在RT△ABC中，cot30°=????
????=√3，
∴????=√3，
????
即PN=√3PM．
（2）解；①PN=√6PM，
如图2 在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F ∴四边形BFPE是矩形， ∴△PFN∽△PEM ∴????=????，
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A=30°，∠C=60° ∴PF=√PC，PE=2PA
23
1
????
????
∴????=????=√
????????
3????
????
∵PC=√2PA ∴????=√6，
????
即：PN=√6PM
②如图3，成立．
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