（2019年广西贺州25题）
25．（10分）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8． （1）求∠ADB的度数； （2）求AC的长度．
【分析】（1）由切线的性质得出AF⊥OA，由圆周角定理好已知条件得出∠F＝∠DBC，证出AF∥BC，得出OA⊥BC，求出∠BOA＝90°﹣30°＝60°，由圆周角定理即可得出结果；
（2）由垂径定理得出BE＝CE＝BC＝4，得出AB＝AC，证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB，由直角三角形的性质得出OE＝OB，BE＝即可得出AC＝AB＝OB＝2OE＝
．
OE＝4，求出OE＝
，
【解答】解：（1）∵AF与⊙O相切于点A， ∴AF⊥OA， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠DAC＝30°， ∴∠DBC＝∠DAC＝30°， ∵∠F＝30°， ∴∠F＝∠DBC， ∴AF∥BC， ∴OA⊥BC，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ADB＝∠AOB＝30°； （2）∵OA⊥BC， ∴BE＝CE＝BC＝4， ∴AB＝AC，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB， ∵∠OBE＝30°， ∴OE＝OB，BE＝∴OE＝
，
． OE＝4，
∴AC＝AB＝OB＝2OE＝
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OA⊥BC是解题的关键．
（2019年广西柳州25题）
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且连接FB，FD，FD交AB于点N． （1）若AE＝1，CD＝6，求⊙O的半径； （2）求证：△BNF为等腰三角形；
（3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：ON?OP＝OE?OM．
＝
，
【解答】解：（1）如图1，连接BC，AC，AD，
∵CD⊥AB，AB是直径 ∴
，CE＝DE＝CD＝3
∴∠ACD＝∠ABC，且∠AEC＝∠CEB ∴△ACE∽△CEB ∴∴∴BE＝9
∴AB＝AE+BE＝10 ∴⊙O的半径为5 （2）∵
＝
∴∠ACD＝∠ADC＝∠CDF，且DE＝DE，∠AED＝∠NED＝90° ∴△ADE≌△NDE（ASA） ∴∠DAN＝∠DNA，AE＝EN ∵∠DAB＝∠DFB，∠AND＝∠FNB ∴∠FNB＝∠DFB ∴BN＝BF，
∴△BNF是等腰三角形
（3）如图2，连接AC，CE，CO，DO，
∵MD是切线， ∴MD⊥DO，
∴∠MDO＝∠DEO＝90°，∠DOE＝∠DOE ∴△MDO∽△DEO ∴
∴OD2＝OE?OM ∵AE＝EN，CD⊥AO ∴∠ANC＝∠CAN， ∴∠CAP＝∠CNO， ∵
∴∠AOC＝∠ABF ∵CO∥BF ∴∠PCO＝∠PFB
∵四边形ACFB是圆内接四边形 ∴∠PAC＝∠PFB
∴∠PAC＝∠PFB＝∠PCO＝∠CNO，且∠POC＝∠COE ∴△CNO∽△PCO ∴
∴CO2＝PO?NO， ∴ON?OP＝OE?OM．
（2019年广西北部湾等25题）
25．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不
