（1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；
（2）当x＝4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧
长度的大小；
（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）如图1，AP经过圆心O，∵CP与⊙O相切于P， ∴∠APC＝90°， ∵?ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠PBC＝∠DAB ∴
＝tan∠PBC＝tan∠DAB＝，设CP＝4k，BP＝3k，由CP2+BP2＝BC2，
得（4k）2+（3k）2＝152，解得k1＝﹣3（舍去），k2＝3， ∴x＝BP＝3×3＝9，
故当x＝9时，圆心O落在AP上； ∵AP是⊙O的直径， ∴∠AEP＝90°， ∴PE⊥AD， ∵?ABCD， ∴BC∥AD ∴PE⊥BC
（2）如图2，过点C作CG⊥AP于G， ∵?ABCD， ∴BC∥AD，
∴∠CBG＝∠DAB ∴
＝tan∠CBG＝tan∠DAB＝，
设CG＝4m，BG＝3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2＝152，解得m＝3， ∴CG＝4×3＝12，BG＝3×3＝9，PG＝BG﹣BP＝9﹣4＝5，AP＝AB+BP＝3+4＝7， ∴AG＝AB+BG＝3+9＝12 ∴tan∠CAP＝
＝
＝1，
∴∠CAP＝45°；
连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ＝2∠CAP＝2×45°＝90°，PH＝AP＝，
在Rt△CPG中，∵CP是⊙O的切线，
∴∠OPC＝∠OHP＝90°，∠OPH+∠CPG＝90°，∠PCG+∠CPG＝90° ∴∠OPH＝∠PCG ∴△OPH∽△PCG ∴∴OP＝
，即PH×CP＝CG×OP，×13＝12OP，
＝
＝13，
∴劣弧∵
长度＝＜2π＜7
＝，
∴弦AP的长度＞劣弧长度．
（3）如图3，⊙O与线段AD只有一个公共点，即圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°，
当∠OAD＝90°，∠CPM＝∠DAB时，此时BP取得最小值，过点C作CM⊥AB于M， ∵∠DAB＝∠CBP， ∴∠CPM＝∠CBP ∴CB＝CP， ∵CM⊥AB
∴BP＝2BM＝2×9＝18， ∴x≥18
（2019年河南22题）
22．（10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP． （1）观察猜想 如图1，当α＝60°时，是 60° ． （2）类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出就图2的情形说明理由． （3）解决问题
的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并的值是 1 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数
当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时
的值．
【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD（SAS），即可解决问题．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．
②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
∵∠PAD＝∠CAB＝60°， ∴∠CAP＝∠BAD， ∵CA＝BA，PA＝DA， ∴△CAP≌△BAD（SAS）， ∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD， ∵∠AOC＝∠BOE，
