∴∴∴AE＝3
∵EF∥OC ∴∴
∴EF＝6﹣3
（2019年广西贵港26题）
26．（10分）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．
（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F． ①写出旋转角α的度数； ②求证：EA′+EC＝EF；
（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝
，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）
【分析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题．
②连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．首先证明△CFA′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．
（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF＝EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF＝PB′，推出PA+PF＝PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题． 【解答】（1）①解：旋转角为105°． 理由：如图1中，
∵A′D⊥AC， ∴∠A′DC＝90°， ∵∠CA′D＝15°， ∴∠A′CD＝75°， ∴∠ACA′＝105°， ∴旋转角为105°．
②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM． ∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°， ∴∠CEA′＝120°， ∵FE平分∠CEA′， ∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，
∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°， ∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE， ∴△FOC∽△A′OE， ∴
＝
，
∴＝，
∵∠COE＝∠FOA′， ∴△COE∽△FOA′， ∴∠FA′O＝∠OEC＝60°， ∴△A′OF是等边三角形， ∴CF＝CA′＝A′F， ∵EM＝EC，∠CEM＝60°， ∴△CEM是等边三角形， ∠ECM＝60°，CM＝CE， ∵∠FCA′＝∠MCE＝60°， ∴∠FCM＝∠A′CE， ∴△FCM≌△A′CE（SAS）， ∴FM＝A′E，
∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．
（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．
由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′， ∴△A′EF≌△A′EB′， ∴EF＝EB′，
∴B′，F关于A′E对称， ∴PF＝PB′，
∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′， 在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝
AB＝2，∠MCB′＝30°，
∴B′M＝CB′＝1，CM＝∴AB′＝
∴PA+PF的最小值为
＝
，
＝
．
．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． （2019年广西桂林25题）
25．（10分）如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．
（1）求证：△ACB是等腰直角三角形； （2）求证：OA2＝OE?DC： （3）求tan∠ACD的值．
【分析】（1）由切线的性质和圆周角定理可得∠ACB＝∠ABM＝90°，由角平分线的性质可得∠CAB＝∠CBA＝45°； （2）通过证明△EDO∽△ODC，可得
，即可得结论；
（3）连接BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交BD于点F，由外角的性质可得∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO+∠ODB＝3∠ODB，可求∠ODB＝15°＝∠OBD，由直角三角形的性质可得BD＝DF+BF＝
AD+2AD，即可求tan∠ACD的值．
【解答】证明：（1）∵BM是以AB为直径的⊙O的切线， ∴∠ABM＝90°， ∵BC平分∠ABM， ∴∠ABC＝∠ABM＝45° ∵AB是直径 ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°
