求证：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1.
解析：(1)由题意知，E为B1C的中点， 又D为AB1的中点，因此DE∥AC.
又因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C.
(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC.
因为AC?平面ABC，所以AC⊥CC1.
又因为AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1， BC∩CC1＝C， 所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC. 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形， 因此BC1⊥B1C.
因为AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C， 所以BC1⊥平面B1AC.
又因为AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1.
10．(2014·福建卷)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，
AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值． 分析：第(1)问根据面面垂直、线面垂直的性质，证明线线垂直；第(2)问利用第(1)问的结论，建立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标，再用向量法求线面角的正弦值．
解析：(1)∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.
又CD?平面BCD，∴AB⊥CD.
(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图．
由(1)知AB⊥平面BCD，BE?平面BCD，BD?平面BCD， ∴AB⊥BE，AB⊥BD.
→，BD→，BA→的方向为x轴，y轴，z以B为坐标原点，分别以BE轴的正方向建立空间直角坐标系．
依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，
?11??11?→→→???M0，2，2，则BC＝(1，1，0)，BM＝0，2，2?，AD＝(0，1，
????
－1)．
设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)， →＝0，?x0＋y0＝0，?n·BC则?即?1 1
→＝0，?n·BM?2y0＋2z0＝0，
取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)． →)|＝设直线AD与平面MBC所成角为θ，则sin θ＝|cos(n，AD→||n·AD6＝， →|n|·|AD|3
6即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.
3
