线性代数知识点总结
一、 行列式
1、 N阶行列式中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标（横行），
第二个下标 j 为列指标（竖列）。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。
2、 在一个排列中，若数较大的数码排在较小的数码之前则称这两
个数组成此排列的一个逆序。一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为 ?(每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数)逆序数为奇数的为奇排列，偶数为偶排列。 3、 上/下三角行列式主对角线以下/上元素都是0，上/下三角行列
式的值为主对角线上所有元素乘积。（详见课本p4） 4、 （1）行列式与它的转置行列式相等既D=DT。(把D的各行换成
同序号的列的运算就是行列式的转置行列式)
（2）行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。
（3）互换行列式的两行（列）,行列式变号。推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k等于用数k乘此行列式。因此行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
（5）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
（6）若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和那么可以把改行列式表达成两个行列式之和。（详见课本p8）
（7）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数k然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。
（8）计算行列式常用方法：(1)利用定义（详见课本p3）;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 5、在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij
a11 Aij???1?a12a13a14i?jD? a22a21a31a41a42Mij 叫做元素aij的代数余子式
a11a12a14a23a33a43a24a34a44M23?a31a41A23???1?a32a422?3a34a44
a32M23=-Mij
6、行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 D?ai1Ai1?ai2Ai2?L?ainAin?i?1,2,L,n?7、行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零既 ai1Aj1?ai2Aj2?L?ainAjn?0,i?j.8、一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积既D=aijAij 二、矩阵及其运算
?1??0E?En??L??0?0L0??1L0?LLL??0L1??主对角线全为1其余的位置全是0的矩阵称为单位阵
（1） 两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵。 （2） 两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等则称两矩阵相等。 （3） 两个M*N的矩阵相加既对应项相加（减法相同）；只有当两个矩
阵是同型矩阵时，才能进行加/减法运算（加法满足交换律和结合律既A+B=B+A；（A+B）=A+(B+C);
（4） 数λ与矩阵相乘等于λ和A的每个元素相乘记作λA或Aλ； （5） 设A 和B是m*n的矩阵λμ为数则有
?1?????A????A?;?2??????A??A??A;?3???A?B???A??B.（6）只有当第一个矩阵A的列数等于第二个矩阵B的行数时，两个矩阵才能相乘
（7）矩阵A和矩阵B相乘A的第i行和B的第j列的对应元素相乘之和就是C的aij （详见课本p34） （8）矩阵不满足交换律既
?AB?k?AkBk.AB?BA,
（9）矩阵乘法不满足消去律既AB=AC不能推出B=C; (10)
把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转
置矩阵，记作AT ;
TT(11)转置矩阵的运算性质 ?1??AT?T?A;?2??A?B??AT?BT;?3???A???AT;
?4??AB?T?BTAT.(12)若n阶方阵A满足A=AT我们就称A为对称阵，若-A=AT就称反
对称阵。（对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.）
（13）由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，
记作|A|
运算性质 ?1?AT?A;?2??A??nA;?3?AB?AB;?AB?BA.|A*| =|A|-1；|A-1|=1/|A| ；AA*=E；
(14)方阵的幂运算满足下列运算规律：设A为n阶方阵，k、L为正整数，则 AkAl?Ak?l;(Ak)l?Akl. (15) P(x)?amxm?am?1xm?1???a1x?a0是m次多项式，A为n阶方阵，记 P(A)?amAm?am?1Am?1???a1A?a0E,P(A)称为矩阵多项式; 其中E为n阶单位矩阵，则
定义2.11当A??aij?为复矩阵时，用aij表示aij的共轭复数，记A??aij?，A称为A的共轭矩阵.
设AB为复矩阵,λ为复数,且运算都是可行的 ?1?A?B?A?B;?2??A??A; ?3?AB?AB.(16)下面三种变换称为矩阵的初等行变换（1）对调两行（对调ij记作ri rj ；（2）以数k不等于0乘以某一行（列）全部元素。（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上；如果矩阵A有限次初等变经换变成矩阵B就称AB等价
（17）设A是m*n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等方阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等方阵.
(18)矩阵经初等变换而秩不变. 因此，我们可以用初等变换把矩阵中的许多元素变为0，从而直接看出矩阵的秩。只用初等行 变换即可把矩阵变为一种称为行阶梯形矩阵，其中非零行的行数即
