(2)在本章的许多问题中，需用构造法，构造一个新数列，使新数列成等差(或等比)数列，从而使原问题获得解决．
2an跟踪练习：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求通项公式an.
an＋2[解析] 由题意知an≠0， ∴∴
an＋211＝2a＝a＋2， an＋1nn11an＋1
n
11
－a＝2.
n
1
令a＝bn，
11
∴bn＋1－bn＝2，b1＝a＝1，
1
1
∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列． n＋11
∴bn＝1＋2(n－1)＝2， 2
∴an＝. n＋1
?3 n＝1
例5、 已知数列{an}满足an＝?，数列{bn}满足bn＝3an＋4，
2n－1 n≥2?{bn}是否为等差数列？
[错解] ∵bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4) ＝3(an＋1－an)＝3[(2n＋1)－(2n－1)] ＝6(常数)， ∴{bn}是等差数列．
[辨析] 由数列{an}的定义式知，当n≥2时，an＝2n－1，故bn＋1－bn＝6是在条件n≥2下导出的，当n＝1时是否满足，需要验证．
[正解] 当n≥2时，bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3[(2n＋1)－(2n－1)]＝6，
又b2－b1＝(3a2＋4)－(3a1＋4)＝3(a2－a1)＝3×(3－3)＝0≠6. ∴数列{bn}不是等差数列．
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2.2.2等差数列的性质
1.等差数列{an}的一些简单性质
(1)对于任意正整数n、m都有an－am＝(n－m)d.
(2)对任意正整数p、q、r、s，若p＋q＝r＋s，则ap＋aq＝ar＋as.
特别地对任意正整数p、q、r若p＋q＝2r，则ap＋aq＝2ar_______.
(3)对于任意非零常数b，若数列{an}成等差，公差为d，则{ban}也成等差数列，且公差为bd____.
(4)若{an}与{bn}都是等差数列，cn＝an＋bn，dn＝an－bn则{cn}，{dn}都是等差数列．
(5)等差数列{an}的等间隔的项按原顺序构成的数列仍成等差数列．如a1，a4，a7，?，a3n－2，??成等差数列．
练习：(1)等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝________； (2)已知等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a6＝26，则a8的值是________． [答案] (1)7 (2)22
[解析] (1)设公差为d，∴a8－a2＝6d＝3， 1
∴d＝2.∴a10＝a8＋2d＝6＋1＝7， (2)∵a2＋a8＝a4＋a6＝26， ∴a8＝26－a2＝26－4＝22. 2．等差数列的单调性
等差数列{an}的公差为d，则当d＝0时，等差数列{an}是常数列，当d<0时，等差数列{an}是单调递减数列；当d>0时，等差数列{an}是单调递增数列．
练习：等差数列{an}是递增数列，若a2＋a4＝16，a1·a5＝28，则通项an＝________.
[答案] 3n－1 [解析] 设公差为d， ∵a2＋a4＝a1＋a5＝16，
?a1＋a5＝16?a1＝2?a1＝14∴由?，解得?或?.
a·a＝28a＝14a＝2?15?5?5
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∵等差数列{an}是递增数列， ∴a1＝2，a5＝14. ∴d＝
a5－a112
＝4＝3， 5－1
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1. 3．等差数列中的设项方法与技巧
(1)若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d.
(2)若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. (3)若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d. 练习：已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．
[解析] 设等差数列的前三项分别为a－d，a，a＋d，由题意，得?a－d＋a＋a＋d＝21?3a＝21?a＝7，?，即?2，解得?. 2
4?a?a－d??a＋d?＝231?a?a－d?＝231?d＝±
∵等差数列{an}是递增数列，∴d＝4. ∴等差数列的首项为3，公差为4. ∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1.
考点一：等差数列的性质
例 1、等差数列{an}中，a4＋a5＋a6＋a7＝56，a4·a7＝187，求a1和d. [解析] ∵a4＋a5＋a6＋a7＝2(a4＋a7)＝56，∴a4＋a7＝28，又a4·a7＝187，?a4＝11?a4＝17?a1＝5?a1＝23
∴?或?，∴?或? . ?a7＝17?a7＝11?d＝2?d＝－2
跟踪练习：在等差数列{an}中，a18＝95，a32＝123，an＝199，则n＝________. [答案] 70
[解析] ∵a32－a18＝(32－18)d＝123－95，∴d＝2，又a18＝a1＋17d＝95，∴a1＝61，∴an＝a1＋(n－1)d＝61＋2(n－1)＝199，∴n＝70.
例2、设公差为－2的等差数列，如果a1＋a4＋a7＋?＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋?＋a99＝( )
A．－182 B．－78 C．－148 D．－82
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[答案] D
[解析] a3＋a6＋a9＋?＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋??＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋?＋a97)＋2d×33＝50＋(－4)×33＝－82.
跟踪练习：在等差数列{an}中，已知a7＋a8＝16，则a2＋a13＝( ) A．12 B．16 C．20 D．24 [答案] B
[解析] 在等差数列{an}中，a2＋a13＝a7＋a8＝16，故选B.
考点二：对称法设未知项
例3、成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数．
[解析] 设四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， ??a－3d?＋?a－d?＋?a＋d?＋?a＋3d?＝26 ①则：?
?a－d??a＋d?＝40 ②?133由①，得a＝2.代入②，得d＝±2. ∴四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
跟踪练习：已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的平方和为35，试求这三个数．
[解析] 设这三个数分别为a－d，a，a＋d， 根据题意，得
??a－d?＋a＋?a＋d?＝9?a＝3?，解得?. 222
2??a－d?＋a＋?a＋d?＝35?d＝±∴这三个数为1,3,5或5,3,1.
考点三：等差数列性质的综合应用
例4、在△ABC中，若lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差数列，并且三个内角A，B，C也成等差数列，试判断该三角形的形状．
[解析] 由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，
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