多边形
1．多边形及其有关概念
(1)多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． 多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、六边形、??由n条线段组成的多边形就叫做n边形．如图，是一个五边形，可表示为五边形ABCDE.
三角形是最简单，边数最少的多边形. (2)多边形的边：
组成多边形的线段叫做多边形的边． (3)多边形的内角、外角：
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，也称为多边形的角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图，∠B，∠C，∠D，?是五边形的内角，∠1是五边形的外角．
谈重点 多边形外角的理解 多边形每一个顶点处有两个外角，并且同顶点的外角与内角互为邻补角．
(4)多边形的对角线：
①定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图，AC，AD就是五边形ABCDE中的两条对角线．
②拓展理解：
一个n边形从一个顶点可以引(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形．一个nn(n－3)
边形一共有条对角线．
2
析规律 多边形的对角线条数与顶点数的关系 ①从多边形一个顶点引出的对角线能将多边形分割成不同的三角形，这就把多边形问题转化为三角形问题来研究；②所有的四边形都有2条对角线，五边形有5条对角线，也就是说一个边数一定的多边形的对角线的条数是一定的．
(5)凸多边形和凹多边形： ①在图(1)中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；
1
②在图(2)中，画出DC(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，我们称这个四边形为凹四边形，像这样的多边形称为凹多边形．
【例1】 填空：
(1)十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．
(2)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．
解析：(1)一个n边形有n个顶点，n个角，2n个外角，从一个顶点能画出(n－3)条对
n(n－3)
角线，共有条对角线；
2
(2)一个n边形从一个顶点可以引(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形，所以n－2＝4，n＝6，这个多边形是六边形．
答案：(1)10 10 20 7 35 (2)六
2．正多边形
(1)定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．如等边三角形、正方形等．
(2)特点：不仅边都相等，角也都相等，两个条件必须同时具备才是正多边形．如长方形四个角都是直角，都相等，但边不等，所以不是正多边形．
析规律 正多边形外角的特征 因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等．
【例2】 下列说法正确的个数有( )．
(1)由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形； (2)各边都相等的多边形是正多边形； (3)各角都相等的多边形一定是正多边形； (4)正多边形的各个外角都相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：(1)不正确，一是要在同一平面内，二是不能在同一条直线上；(2)不正确，各边都相等，各角也都相等的多边形才是正多边形，这两个条件必须同时具备，如菱形虽然四边都相等，但它不是正多边形；(3)不正确，如长方形四个角都是直角，都相等，但边不一定相等，所以不是正多边形；(4)正确，因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等．故选A.
答案：A
3．多边形的内角和
(1)公式：n边形内角和等于(n－2)×180°. (2)探究过程：如图，以五边形、六边形为例．
①从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，五边形的内角和等于180°×3＝540°；
2
②从六边形的一个顶点出发，可以画3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，六边形的内角和等于180°×4＝720°；
③从n边形的一个顶点出发，可以画(n－3)条对角线，它们将n边形分成(n－2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n－2)．
所以多边形内角和等于(n－2)×180°.
析规律 多边形内角和公式的推导 推导多边形内角和公式的方法很多，但都是将多边形内角和转化为三角形内角和进行推导的，这也是研究问题的一种思路方法，将多边形问题转化为三角形问题解决．
(3)应用：
①运用多边形内角和公式可以求出任何边数的多边形的内角和； ②由多边形内角和公式可知，边数相同的多边形内角和也相等，因此已知多边形内角和也能求出边数．
【例3】 选择：
(1)十边形的内角和为( )．
A．1 260° B．1 440° C．1 620° D．1 800°
(2)一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有( )． A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
解析：(1)运用多边形内角和公式计算： 180°×(10－2)＝1 440°，故选B；
(2)一个多边形的内角和为720°，即180°×(n－2)＝720°，解得n＝6，所以该多边
6×(6－3)
形是六边形，六边形有＝9条对角线，故选D.
2
答案：(1)B (2)D 4．多边形的外角和
(1)公式：多边形的外角和等于360°. (2)探究过程：如图，以六边形为例．
①外角和：在每个顶点处各取一个外角，即∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它们的和为外角和．
②因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于180°×6＝1 080°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝1 080°－180°×(6－2)＝360°.
③n边形外角和＝n×180°－(n－2)×180°＝360°. (3)拓展理解：
①多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360°，与边数无关． ②多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和．
解技巧 多边形的内角与相邻外角的关系的运用 同顶点的每一个内角和外角互为邻补角是解决含内、外角问题的关键，是内、外角转换的纽带．
【例4】 填空：
(1)一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是__________度，外角和是__________度；
(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________，外角和增加__________． 解析：(1)因为每个外角都是60°，所以360°÷60°＝6，所以是六边形．根据内角和公式计算出内角和是720°，外角和是恒值为360°(也可以由每个外角都是60°，得每个
3
内角都是120°，进而得到内角和是720°)；
(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180°，但外角和不变． 答案：(1)六 720 360 (2)180° 0° 5．多边形内角和公式的应用 多边形内角和只与边数有关，因此当一个多边形的边数确定时，多边形的内角和就是一定的，所以多边形内角和公式就有两个作用：
(1)已知多边形边数(顶点数、内角个数)就可以求出多边形内角和度数，方法是直接将边数n代入公式(n－2)×180°求出．
(2)已知多边形内角和求多边形边数，只要根据多边形内角和公式列出以n为未知数的方程，解方程，求出n即可得到边数．
破疑点 多边形内角和的理解 ①用内角和除以180°得到的是n－2的值，不是边数，边数是n，这点要注意．②熟记多边形内角和公式是这部分内容应用的关键． 【例5－1】 若一个四边形的四个内角度数的比为3∶4∶5∶6，则这个四边形的四个内角的度数分别为__________．
解析：设每一份为x°，那么四个角分别为3x°，4x°，5x°，6x°.根据四边形内角和是360°，列出方程3x＋4x＋5x＋6x＝360，解得x＝20，然后求出各角；也可以用360°÷18＝20°，每一份是20°，然后求解．
答案：60°，80°，100°，120°
【例5－2】 一个多边形的内角和等于1 440°，则它的边数为__________． 解析：根据多边形内角和公式列出以n为未知数的方程(n－2)×180＝1 440，解方程得n＝10.所以这个多边形为十边形．
答案：10
【例5－3】 一个多边形的内角和不可能是( )．
A．1 800° B．540° C．720° D．810°
解析：因为边数只能是整数，所以多边形的内角和必须是180°的整数倍，故选D. 答案：D 6.多边形外角、外角和公式的应用
多边形外角和是360°，它是一个恒值，不论多边形是几边形，它的外角和都是360°，与边数无关，所以对于普通多边形，根据多边形外角和无法判断多边形的边数，因此多边形外角很少单独考查，它一般应用于正多边形中或各角都相等时的情况，因为正多边形的每一个内角都相等，所以正多边形的每一个外角也都相等，因此只要知道正多边形中任一个外角的度数就能求出边数，或知道外角的个数也能求出每一个外角的度数，进而能求出内角度数和内角和的度数．
同顶点的外角和内角互为邻补角，所以多边形外角和内角又是相互联系的，知道内角能求外角，知道外角也能求内角，它们之间能相互转换．
破疑点 多边形外角和与外角的关系 多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处各取一个外角的和，是360°，而多边形所有外角的和是360°的2倍，是720°，这点要注意． 【例6－1】 如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝__________.
解析：方法一：根据同顶点的外角和内角互为邻补角，求出已知角的邻补角．根据四边形内角和为360°，求出∠A；方法二：根据四边形外角和为360°，求出与∠A同顶点的邻补角(A点处的外角)，再求出∠A.
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