实变函数复习题 一、填空题
1、(Ac?Bc)?(A?(A?B))?_________ 答案：?
2、设E是?0,1?上有理点全体，则E?=______,E?=______,E=______.答案：?0,1?；?；
?0,1?
3、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都有_________________________________，则称E是L可测的. 答案：m*T?m*(T?E)?m*(T?CE)
4、f(x)可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）答案：充要
5、设f(x)为?a,b?上的有限函数，如果对于?a,b?的一切分划，使_____________________________________________________, 则称f(x)为 ?a,b?上的有
?n?界变差函数。答案：??|f(xi)?f(xi?1)|?成一有界数集
?i?1?6、设An?[,2?n11n],n?1,2,?，则limAn?_________。答案：?0,2?
n??7、设P为Cantor集，则 P? ，mP?_____，P?=_______。答案：?；0 ；?
??8、设?Si?是一列可测集，则m??Si?i?1??______???mSi?1i 答案：?
9、鲁津定理：___________________________________________________ _______________________________________________________________
答案：设f(x)是E上a.e.有限的可测函数，则对任意??0，存在闭子集E??E，使得f(x)在E?上是连续函数，且m(E\\E?)??。
10、设F(x)为?a,b?上的有限函数，如果______________________________ _____________________________________________________________________________________________，则称F(x)为?a,b?上的绝对连续函数。
答案：对任意??0,???0，使对?a,b?中互不相交的任意有限个开区间
?ai,bi?,i?nn1,2?,n,只要,??bi?ai???，就有?|F(bi)?F(ai)|??
i?1i?111、设集合N?M，则M?(M?N)?__________答案：N
12、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都有__________，则称E是L可测的。
***cmT?m(T?E)?m(T?E)
13、叶果洛夫定理： _________________________________________________________ 答案：叶果洛夫定理：设m(E)??,{fn}是E上一列a.e.收敛于一个a.e.有限的函数
f 的可测函数，则对任意??0,存在子集E??E，使{fn}在E?上一致收敛且m(E\\E?)??。
14、设f(x)在E上可测，则f(x)在E上可积的 条件是|f(x)|在E上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”）答案：充要
15、设An?[,2?n11n],n?1,2,?，则limAn?_________。答案：（0，2）
n??16、设E?R,若E??E,则E是 集；若E?E，则E是 __集；若E?E'，则E是___ _____集. 答案：闭； 开； 完备
17、鲁津定理： 答案：设f是E??n上几乎处处有限的可测函数，则对于???0，存在闭集F?E，使得f在F上连续，并且m(E?F)??。
二、单项选择题
1、下列各式正确的是（ ） 答案：C
?n???n????0（A）limAn???Ak; （B）limAn???Ak;
n?1k?n?n???n??n?1k?n??（C）limAn???Ak; （D）limAn???Ak;
n?1k?nn?1k?n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）答案：D （A）P?? (B) mP?0 (C) P?P (D) P?P 3、下列说法不正确的是（ ）答案：B
(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测
(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测
4、设f(x)是[a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）答案：D
'?(A) f(x)在[a,b]上有界 (B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数 （C）f(x)在[a,b]上L可积 (D)
'?baf'(x)dx?f(b)?f(a)
5、设M,N是两集合，则 M?(M?N)=（ ）答案：C (A) M (B) N (C) M?N (D) ? 6、下列说法不正确的是( ) 答案：C
(A) P0的任一领域内都有E中无穷多个点，则P0是E的聚点
(B) P0的任一领域内至少有一个E中异于P0的点，则P0是E的聚点 (C) 存在E中点列?Pn?，使Pn?P0，则P0是E的聚点 (D) 内点必是聚点
7、下列断言( )是正确的。答案：B
（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 8、下列断言中( )是错误的。答案：C
（A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集； （C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集； 9、若f(x)是可测函数，则下列断言（ ）是正确的。答案：A (A) f(x)在?a,b?L?可积?|f(x)|在?a,b?L?可积； (B) f(x)在?a,b?R?可积?|f(x)|在?a,b?R?可积 (C) f(x)在?a,b?L?可积?|f(x)|在?a,b?R?可积; (D) f(x)在?a,???R?广义可积?f(x)在?a,+??L?可积 10、设An?[,2?(?1)],n?1,2,?，则（ ）答案：B
n1n(A) limAn?[0,1] （B）limAn?(0,1]
n??n??(C) limAn?(0,3] （D）limAn?(0,3)
n??n??11、设E是?0,1?上有理点全体，则下列各式不成立的是（ ）答案：D （A）E?[0,1] (B) E?? (C) E=[0，1] (D) mE?1 12、下列说法不正确的是（ ）答案：C
(A) 若A?B，则m*A?m*B （B） 有限个或可数个零测度集之和集仍 为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D）凡开集、闭集皆可测
'o13、设{En}是一列可测集，E1?E2???En??，且mE1???，则有（ ）答案：A
??????（A）m??En??limmEn (B) m??En??limmEn
?n?1?n???n?1?n????? （C）m??En??limmEn;（D）以上都不对
?n?1?n??14、设f(x)是[a,b]上绝对连续函数，则下面不成立的是（ ）答案：B (A) f(x)在[a,b]上的一致连续函数 (B) f(x)在[a,b]上处处可导 （C）f(x)在[a,b]上L可积 (D) f(x)是有界变差函数 15、设P为Cantor集，则 答案：C
（A）P? ?0 (B) mP?1 (C) P?P (D) P?P 16、下列说法不正确的是( ) 答案：C
(A) P0的任一领域内都有E中无穷多个点，则P0是E的聚点
(B) P0的任一领域内至少有一个E中异于P0的点，则P0是E的聚点 (C) 存在E中点列?Pn?，使Pn?P0，则P0是E的聚点 (D) 内点必是聚点
17、设f(x)在E上L可积,则下面不成立的是( ) 答案：C (A)f(x)在E上可测 (B)f(x)在E上a.e.有限 (C)f(x)在E上有界 (D)f(x)在E上L可积
18、设{En}是一列可测集，E1?E2???En??，则有（ ）。答案：B
??????（A）m??En??limmEn (B) m??En??limmEn
?n?1?n???n?1?n????? （C）m??En??limmEn;（D）以上都不对
?n?1?n??'?19、设f(x)为[a,b]上的有界变差函数,则下面不成立的是( D ) (A)f(x)在[a,b]上L可积 (B)f(x)在[a,b]上R可积
