万学教育·海文考研 2011春季数学基础班—线性代数
2011年万学海文线性代数 春季基础班考研辅导讲义
主讲 铁军 教授
铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在全国各大城市声名鹊起，成为与王式安、赵达夫齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！2011年，考研竞争空前激烈！万学海文邀请铁军教授亲临面授，为您考研成功保驾护航。您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！
线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题。因此，必须掌握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用。难点在于线性代数的内容比较抽象，综合性强，特别是关于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题难度较大，必须突破这一难点。
第一章 行列式
行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按
行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。
【大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。
【大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。会应用行列式的性质和行列式按行
（列）展开定理计算行列式。
【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用：
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1．判定方阵是否可逆以及应用公式A?1?1?A求逆矩阵； A 2．判定n个n维向量的线性相关性； 3．计算矩阵的秩；
4．讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解； 5．求方阵的特征值；
6．判定二次型及实对称矩阵的正定性。
同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。在复习过程中，请大家注意及时归纳总结。
【重要考点】
1．行列式按行、按列展开公式为：
D?ak1Ak1?ak2Ak2???aknAkn?a1kA1k?a2kA2k???ankAnk (k?1,2?n)
2．两个特殊公式：设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则 （1）
AOACOACA（2）??AB ；??(?1)mnA?B
CBOBBCBO11?1x2?xn22??(xi?xj) x2?xn1?j?i?n??n?1n?1x2?xnx12 3．范德蒙行列式：x1?n?1x14．余子式和代数余子式的定义，其中aij的余子式为Mij，aij的代数余子式为
Aij?(?1)i?jMij。
【典型例题】
1. 计算n阶行列式
x00Dn?00an?1x000an?10?1x00?????000x0000?1xa2000
??0?1a1an?2?a3内部教材 严禁复制
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ab0?000ab?002. n阶行列式
00a?00?????000?abb00?0a?_____________________.
1x1★ 范德蒙行列式：Dn?x121x22x2???1xn2xn??(xi?xj)，
?x1n?1??1?j?i?nn?1n?1x2?xnn阶范德蒙行列式Dn的结构特点是每列元素1,xi,xi2,?,xin?1 按xi的升幂排列，构
成一个等比数列。
11233. 计算四阶行列式D?498274. 计算四阶行列式
3a12a1b13a22a2b22a2b23b33a32a3b32a3b33b33a42a4b42a4b43b4111?4.
1161?64 D?a1b123b1 （其中a1,a2,a3,a4均不为0）
5. 计算四阶行列式
1D?1?si?n1sin?1?s2in?12sin?1?s3in?11?1s?i2n?2si?n2?1s?i2n21?1?4sin2??4sin?4sin23???4sin4sin2?1?s3ins?i2ns?i2n3?s?in32?s3i?n?s3in3?s3in
?????★ 形如 的行列式称为三对角型（三斜线形）行列式。三对角型行列
?????式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零。对于这类三对角型行列式通常可用递推法。
6. 计算n?1阶行列式
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Dn?11b10?11?b1b20?11?b2?00?000000000000?00
??001?bn?1bn0?11?bn4300014300 7．五阶行列式 D5?01430 的值为_________.
0014300014
8. 五阶行列式
1?a?1 D?000
a1?a?1000a1?a?1000a?1a?1000?__________. ___a?1a??????★ 形如的行列式称为箭形、爪形或扇形行列式，其特点是行列式中主
????对角线上的元素和第一行、第一列上的元素不为零，其余元素均为零。对于箭形、爪形或扇形行列式，可用主对角线上的元素化其为上（下）三角型行列式进行计算。
9.计算n?1阶行列式
a01a10?01200010a2?0?11?1?1?0?0 (a1a2?an?0) ???an Dn?110. 计算n阶行列式
01Dn?1?11?1000300 0?000n11. 计算n阶行列式
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