标准答案⑴f (x) = lnx+l, (1分)
( n
当0,-时，f (x)<0,几x)单调递减；
\\ D丿
(\\ \\ 当 炸(?，+°°J时，/' (x)>0, j[x)单调递增.
⑴ 1
所以几￥)的最小值为f~ =—匚.(3分)
(2)2xlru$—X+OY—3, 3 则 aW2hix+x+—.
x
、 3
_
设 h(x) = 21ru+x+(x>0),
1 . (x+3)(x 1) 、 则F (x)=-——分——,(4分)
X
—
① 当%e(O,l)0寸，F (x)<0,加无)单调递减；(5分) ② 当 xe(i, +?)时，// (x)>0, /z(x)单调递增，
所以 /?(x)min=/?(l)=4.
因为对一切 x￡(0, +°°), 2/(x)恒成立， 所以 aW/l(X)min = 4, 即Q的取值范围为(-OO, 4]. (7分)
Y 2
(3)证明：问题等价于证明x\\wc>~—~(x(0, +°°))?(8分) e e
由⑴可知X^)=xlnx(xe(0, +?))的最小值是一丄，当且仅当兀=丄时
C v
取到.(9分)
Y 2
设 m(x)=^—-(%e(0, +°°)),
则 m ' (%)=—^厂，
易知 m(x)max =加(1) = 一￡, (11 分)
1 ?
从而对一切%E(0, +°°),都有hir>r——成立.(12分)
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考场策略 解答本题第三问利用了逆向解答，把不等式lar>A-2巧
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Y 2
妙地转化为x\\nx>-^—-9不等式左边是夬兀)，右边看作一个新的函数 加⑴，只需说明Xx)min>rn(x)max即可.
