所以x→0，g（x）→+∞，g（）=2﹣a﹣2ln，g（e）=a（e﹣1）﹣2， 所以对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2 使得g（x1）=g（x2）=f（x0）， 当且仅当a满足下列条件
，即
，…
令m（a）=2﹣a﹣2ln，a∈（，+∞）， m′（a）=﹣
，由m′（a）=0，得a=2．
当a∈（2，+∞）时，m′（a）＜0，函数m（a）单调递减； 当a∈（，2）时，m′（a）＞0，函数m（a）单调递增． 所以，对任意a∈（，+∞）有m（a）≤m（2）=0， 即2﹣a﹣2ln≤0对任意a∈（，+∞）恒成立． 由a（e﹣1）﹣2≥1，解得a≥综上所述，当a∈[
，
，+∞）时，对于任意给定的x0（0，e]，
在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0）． …
20．在数列{an}中，已知a1=1，a2=2，an+2=
（k∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求满足2an+1=an+an+2的正整数n的值；
（3）设数列{an}的前n项和为Sn，问是否存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由题意可得数列{an}的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列．分别利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出． ①当n为奇数时，（2）由2an+1=an+an+2可得：=n+1，令f（x）=2×
=n+n+2，化为：
﹣x﹣1（x≥1），利用导数研究函数的单调性即可得出．②当n
+2×
n+1=，化为：
+
，
2n+1）=2为偶数时，由2an+1=an+an+2可得：（
即可判断出不成立．
（3）S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=3n+n2﹣1，n∈N*．S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1．假设存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1，化为3n﹣1（3﹣m）=（m﹣1）（n2﹣1），可得1，2，3．分类讨论即可得出．
【解答】解：（1）由a1=1，a2=2，an+2=
（k∈N*）．可得数列{an}的奇数
项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列． ∴对任意正整数k，a2k﹣1=1+2（k﹣1）=2k﹣1；a2k=2×3k﹣1． ∴数列{an}的通项公式an=
①当n为奇数时，（2）由2an+1=an+an+2可得：=n+1， 令f（x）=2×由f′（x）=
×
﹣x﹣1（x≥1），
×ln
﹣1≥
﹣1=ln3﹣1＞0，
，k∈N*．
=n+n+2，化为：
可知f（x）在[1，+∞）上是增函数， ∴f（x）≥f（1）=0， ∴当且仅当n=1时，满足
=n+1，即2a2=a1+a3．
+2×
，
②当n为偶数时，由2an+1=an+an+2可得：2（n+1）=2化为：n+1=
+
，
上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立． 综上，满足2an+1=an+an+2的正整数n的值只有1． （3）S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=
+
=3n+n2﹣1，n∈
N*．
S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1．
假设存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1， 则3n+n2﹣1=m（3n﹣1+n2﹣1）， ∴3n﹣1（3﹣m）=（m﹣1）（n2﹣1），（*） 从而3﹣m≥0，∴m≤3， 又m∈N*，∴m=1，2，3． ①当m=1时，（*）式左边大于0，右边等于0，不成立． ②当m=3时，（*）式左边等于0，∴2（n2﹣1）=0，解得n=1，∴S2=3S1． ③当m=2时，（*）式可化为3n﹣1=（n+1）（n﹣1）， 则存在k1，k2∈N*，k1＜k2，使得n﹣1=从而
=
，n+1=
﹣
，且k1+k2=n﹣1， =2，
=1，
=2，∴
∴k1=0，k2﹣k1=1，于是n=2，S4=2S3．
综上可知，符合条件的正整数对（m，n）只有两对：（2，2），（3，1）．
三．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
21．如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE?BD﹣AE?AC．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆知，BD?BE=BA?BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE?BD﹣AE?AC．
【解答】证明：连接AD，因为AB为圆的直径， 所以∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠AFE=90°， 则A，D，E，F四点共圆， ∴BD?BE=BA?BF， 又△ABC∽△AEF， ∴
，即AB?AF=AE?AC
∴BE?BD﹣AE?AC=BA?BF﹣AB?AF=AB?（BF﹣AF）=AB2．
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分） 22．已知矩阵A=
，向量=
，计算A5．
【考点】特征向量的意义． 【分析】令f（λ）=
=λ2﹣5λ+6=0，解得λ=2或3．分别对应的一个特征向量
为；．设=m++n．解得m，n，即可得出．
【解答】解：∵f（λ）=
=λ2﹣5λ+6，由f（λ）=0，解得λ=2或3．
当λ=2时，对应的一个特征向量为α1=设
=m
++n
．解得+1×35
=
． ．
；当λ=3时，对应的一个特征向量为α2=
．
∴A5=2×25
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分） 23．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为
的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为与曲线C的交点P的直角坐标． 【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换将极坐标方程化成直角坐标方程．再利用消去参数的方法化参数方程为直角坐标方程，通过直角坐标方程求出交点即可． 【解答】解：因为直线l的极坐标方程为所以直线l的普通方程为又因为曲线C的参数方程为所以曲线C的直角坐标方程为联立解方程组得根据x的范围应舍去
或
，
， ，
（α为参数）
，
，以极点为原点，极轴为x轴
（α为参数），求直线l
故P点的直角坐标为（0，0）．
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
24．已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：ba＞ab．（提示：可考虑用分析法找思路）
【考点】分析法和综合法．
【分析】直接利用分析法的证明步骤，结合函数的单调性证明即可． 【解答】证明：∵ba＞0，ab＞0， ∴要证：ba＞ab 只要证：alnb＞blna 只要证
．（∵a＞b＞e）
