第8讲 平面向量的概念及线性运算
基础梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 (1) 交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 3.向量的数乘运算及其几何意义 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
一条规律:
一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
两个防范:
(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 考点一：平面向量的基本概念 例1．给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a=b； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB?DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a=b，b=c，则a=c； ④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b； ⑤ 若a//b，b//c，则a//c；其中正确的序号是 。 解析：（1）①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同； ②正确；∵ AB?DC，∴ |AB|?|DC|且AB//DC，
又 A，B，C，D是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，AB//DC且|AB|?|DC|，因此，AB?DC。
③正确；∵ a=b，∴ a，b的长度相等且方向相同； 又b＝c，∴ b，c的长度相等且方向相同， ∴ a，c的长度相等且方向相同，故a＝c。
④不正确；当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a//b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件； ⑤不正确；考虑b=0这种特殊情况； 综上所述，正确命题的序号是②③。 由题悟法
1．平面向量的概念辨析题的解题方法
准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．
2．几个重要结论
(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)向量平行与起点的位置无关. 练习（1）．下列命题正确的是( ) A．不平行的向量一定不相等
B．平面内的单位向量有且仅有一个
C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量 D．若a与b平行，则b与a方向相同或相反
解析：选A 对于B，单位向量不是仅有一个，故B错；对于C，a与c的方向也可能相反，故C错；对于D，若b＝0，则b的方向是任意的，故D错，综上可知选A.
考点二 平面向量的线性表示 →1→→1→→→
例2 平行四边形OADB的对角线交点为C，BM＝BC，CN＝CD，OA＝a，OB＝b，用a、b表
33
→→→
示OM、ON、MN.
5→→→1→11→→→1→→→1→解：BA＝a－b，BM＝BA＝a－b，OM＝OB＋BM＝a＋b.OD＝a＋b，ON＝OC＋CN＝OD＋
6666621→2→22→→→11
OD＝OD＝a＋b.MN＝ON－OM＝a－b. 633326
练习：(教材习题改编)设a，b为不共线向量，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是( )
A．AD＝BC B．AD＝2BC C．AD＝－BC
D．AD＝－2BC
解析：选B AD＝AB＋BC＋CD＝a＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC.
考点三 共线向量定理的应用
例3 设两个非零向量a与b不共线．
→→→
(1) 若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线； (2) 试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
→→→
(1) 证明：∵ AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，
→→→→→→
∴ BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB. ∴ AB，BD共线．
又它们有公共点B，∴ A、B、D三点共线． (2) 解：∵ ka＋b与a＋kb共线，
∴ 存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a、b是两不共线的非零向量， ∴ k－λ＝λk－1＝0. ∴ k2－1＝0.∴ k＝±1. 基础巩固题组
1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)．正确的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C a＋(－a)＝0，故③错．
→
2．(人教A版教材习题改编)D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于( )．
→1→→1→A．－BC＋BA B．－BC－BA
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→1→→1→
C.BC－BA D.BC＋BA
22
→→→
解析 如图，CD＝CB＋BD →1→→1→
＝CB＋BA＝－BC＋BA. 答案 A
223．判断下列四个命题：
①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|. 正确的个数是( )． A．1 B．2 C．3 D．4
解析 只有④正确． 答案 A
4．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )． →→→→→→A.EF＝OF＋OE B.EF＝OF－OE →→→→→→C.EF＝－OF＋OE D.EF＝－OF－OE
→→→→→
解析 EF＝EO＋OF＝OF－OE. 答案 B
→→→
5．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝( )．
→
A．0 B.BE →→C.AD D.CF
→→→→→→→→→解析 BA＋CD＋EF＝DE＋CD＋EF＝CE＋EF＝CF. 6.如右图所示，向量a－b等于( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析：选C 由题图可得a－b＝BA＝e1－3e2.
7．(教材习题改编)设a，b为不共线向量，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是( )
A．AD＝BC B．AD＝2BC C．AD＝－BC
D．AD＝－2BC
解析：选B AD＝AB＋BC＋CD＝a＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝
→
2(－4a－b)＝2BC. 8.D是△ABC的边BA上的中点，则向量CD等于( )
→1→→1→A．－BC＋BA B．－BC－BA
22
→1→→1→C.BC－BA D.BC＋BA
22
9．（2013·陕西卷）设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】由已知中|a·b|＝|a|·|b|可得，a与b同向或反向，所以a∥b.又因为由a∥b，可得|cos〈a，b〉|＝1，故|a·b|＝|a|·|b||cos〈a，b〉|＝|a|·|b|，故|a·b|＝|a|·|b|是a∥b的充分必要条件．
AB－CB＋CD|＝________.
解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.
10．若菱形ABCD的边长为2，则|
→→
11. (2013·四川)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝→
λAO，则λ＝________．
→→→→
答案：2 解析：AB＋AD＝AC＝2AO，则λ＝2.
