依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本质属性具有较明显的突出特征，容易形成干扰的信息，而削弱学生对概念本质属性的正确理解。因此，在教学中应注意运用变式，从不同角度、不同方面去反映和刻画概念的本质属性。一般来说，变式包括图形变式、式子变式和字母变式等。
例如，讲授“等腰三角形”概念，教师除了用常见的图形(图6-1(1))展示外，还应采用变式图形(图6-1(2)、(3)、(4))去强化这一概念，因为利用等腰三角形的性质去解题时，所遇见的图形往往是后面几种情形。
一个数学概念建立后，需要对其本质进行剖析，也就是说要对该概念的本质属性再一一从定义中分离出来加以说明，把握共知要素。对概念中的关键词语要着重讲解，对概念的名称、符号要交代清楚，也就是说要对概念描述的语言做到准确把握。如,什么叫循环小数?课本是这样定义的:“一个数的小数部分,从某一位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的数叫循环小数。”这里要抓住两点,一是前提是一个数的小数部分,与整数部分没关系,二是属性是一个数字或几个数字重复出现,且是依次不断的。明确了这两点就能迅速的判断出某些数字是不是循环小数,如7777.777、7.32132、2.2020020002??这样的小数都不具备循环小数的本质属性,所以都不是循环小数。而0.324324??、0.146262??具备了循环小数的本质属性,它们都是循环小数。
（三）数学概念的巩固
为了使学生牢固地掌握所学的概念，还必须有概念的巩固和应用过程。教学中应注意如下几个方面。
1、注意及时复习
概念的巩固是在对概念的理解和应用中去完成和实现的，同时还必须及时复习，巩固离不开必要的复习。复习的方式可以是对个别概念进行复述，也可以通过解决问题去复习概念，而更多地则是在概念体系中去复习概念。当概念教学到一定阶段时，特别是在章节末复习、期末复习和毕业总复习时，要重视对所学概念的整理和系统化，从纵向和横向找出各概念之间的关系，形成概念体系。
2、重视应用
在概念教学中，既要引导学生由具体到抽象，形成概念，又要让学生由抽象到具体，运用概念，学生是否牢固地掌握了某个概念，不仅在于能否说出这个概念的名称和背诵概念的定义，而且还在于能否正确灵活地应用，通过应用可以加深理解，增强记忆，提高数学的应
图6—1 用意识。
概念的应用可以从概念的内涵和外延两方面进行。
（1）概念内涵的应用
①复述概念的定义或根据定义填空。 ②根据定义判断是非或改错。 ③根据定义推理。 ④根据定义计算。
例4（1）什么叫互质数？答： 是互质数。 （2）判断题：
27和20是互质数（ ） 34与85是互质数（ ）
有公约数1的两个数是互质数（ ） 两个合数一定不是互质数（ ） （ 3）钝角三角形的一个角是 82少度？
（4）如果P是质数，那么比P小的自然数都与P互质。这句话对吗？请说明理由？ 2．概念外延的应用 （1）举例
（2）辨认肯定例证或否定例证。并说明理由。 （3）按指定的条件从概念的外延中选择事例。 （4）将概念按不同标准分类。
例5（1）列举你所见到过的圆柱形物体。
（2）下列图形中的阴影部分，哪些是扇形？（图6－2）
o
，另两个角的度数是互质数，这两个角可能是多
图6—2 （3）分母是9是
的最简真分数有＿分子是9
的假分数中，最小的一个
（4）将自然数2－19按不同标准分成两类（至少提出3种不同的分法）
概念的应用可分为简单应用和综合应用，在初步形成某一新概念后通过简单应用可以促进对新概念的理解，综合应用一般在学习了一系列概念后，把这些概念结合起来加以应用，这种练习可以培养学生综合运用知识的能力。
四、概念的发展。
这是不可缺少的一个环节。因为，一方面概念之间有着纵横交错的内在联系。如：除
法、分数、比之间的内在联系，在学完“比”后为学生揭示清楚，有助于学生理解新概念，复习旧知识。另一方面，教学概念，既要重视概念的阶段性，又要注意到概念发展的连续性，不要在一个知识段中把概念讲“死”，以免影响概念的发展和提高，也不要过早地抽象而超越学生的认识能力。要有计划地发展概念的含义，按阶段发展学生的抽象概括能力，要使前一阶段的教学为后一阶段的概念发展做好孕伏。如“除法的意义”，二年级只能让学生认识为：平均分和一个数里面包含着多少个另一个数，只有到了四年级才能让学生抽象出“除法意义”的确切含义。
总之，概念教学的各阶段不能截然分开。引入后要紧接着形成，形成后要及时巩固，巩固中要加深理解，同时又要为概念的发展作准备。教师在教学中，要结合概念的特点和学生的实际，灵活掌握使用。优化数学概念教学，培养学生的创新思维。 乘法的初步认识教学片段 1．创设情景，出示课题
师：老师带来了一些铅笔准备奖给学习认真的小朋友，如果每人2枝，奖给4位小朋友，一共要多少枝?怎样列式?(板书：2+2+2+2=8)如果奖给5位小朋友，一共要多少枝?(板书：2+2+2+2+2＝10)我们班46名同学学习都很认真，每位小朋友都奖励2枝，该怎么列式呢?教师一边板书2+2+2+2??，一边问：这样要写多少个“2”?能不能有一种比较简便的方法来表示呢?这就是今天要学习的乘法(板书课题)。
2．直观感知，形成表象 (1)教学乘号。
(2)学生摆红花，写算式。
师：在投影仪上先摆2朵，再摆2朵，最后再摆2朵。问：数一数，一共摆了几个2朵?(板书：3个2)可以用什么方法算?(板书：2+2+2＝6)这个连加算式中加数都是2，我们可以把它改写成乘法算式，写作：2×3=6，读做：2乘3；也可以写作：3×2＝6，读做：3乘2。(教师示范，再指名读、全班读) (3)学生摆小圆片，写算式。
师：请小朋友自己摆一摆小圆片，再写出算式，行吗?
要求第一行摆3个小圆片，第二行也摆3个小圆片，一共摆了几个小圆片?用加法算怎样列式?能改写成乘法算式吗?(根据学生回答板书： 3+3＝6 3×2＝6或2×3＝6 师：如果再摆两行，那一共又有几个3
呢?算式该怎么列?(根据学生回答板书：
3+3+3+3＝12 3×4＝12或4×3＝12 (4)看图形，写算式。
板书：4+4+4＝12，4×3＝12或3×4＝12 5+5+5＝15，5×3＝15或3×5＝15
3．分析比较，揭示本质
(1)师：仔细观察黑板上的这些加法算式和乘法算式，你发现了什么?引导学生得出：这些加法算式的加数都相同，所以能改写成乘法算式。求几个相同加数的和，用乘法计算比较简便。
(2)讨论下列算式哪些能改写成乘法算式，哪些不能?为什么? 2+2+3 3+3+3+3 5+5 6+6+6+7 4．多种训练，巩固和深化新知 (1)看图列式。
*** *** *** *** *** *** *** 加法算式： 乘法算式： (2)根据算式，用学具摆一摆。 2×2 4×3 2×5
(3)把前面“导入”中的三道加法算式改写成乘法算式。 (4)自己写一个加法算式，然后改写成乘法算式。 5．小结(略)
评析：这节概念课遵循了概念形成的规律，依据感知——表象——概念——运用这么一条途径。概念的引入能紧紧抓住同数连加这一已有的知识基础，又辅以生动形象的直观教学手段，可谓双管齐下。一开始就让学生在现实情境中初步接触“相同加数”，从计算全班学生的奖品总数而激起学生学习“乘法”的欲望。接着让学生在操作实践的过程中，各种感官协同活动，在获得大量感性材料的基础上，形成清晰而丰富的表象，为学生初步认识“乘法”奠定了坚实的基础。新课展开以后能及时对加法算式和乘法算式这些感性材料引导学生进行分析比较，抽象概括出本质属性。“求几个相同加数和，用乘法计算比较简便”这一结论是抽象概括的结果。教师通过第一层次由学生摆出了3个2朵小红花，列出加法算式2十2+2＝6再引导学生看算式回答算式中的加数有什么特点?再让学生用正方形摆出4个3，用小圆片摆出5个4，分别列出加法算式，并观察每个算式中加数的特点。第二层次，教师由三道加法算式引出新的运算——乘法，说明3个2相加的和，4个3相加的和。5个4相加的和，可以用乘法计算。第三层次，通过加法和乘法算式的比较，得出用乘法计算比较简便。第四层次是抽象出乘法的意义。在这个由具体到抽象的过程中，学生的抽象、概括能力得到了培养。为巩固新知设计的辨析题中既有肯定例证，也有否定例证，抓住了教学的难点，突出了教学的重点，有利于学生真正理解乘法的意义，即乘法是求几个相同加数和的简便运算。最后写出求46个学生的铅笔总数的乘法算式，使学生已有的概念得到了及时扩展。整节课学生都主动地投入了整个教学过程。
