第一章 直角三角形的边角关系1
§1.1 从梯子的倾斜程度谈起
（1）在图1中梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?
（1） （2）
(2)在图2中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?
想一想：如图，小明想通过测量B1C1：及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? (2)
B1C1和B2C2AC和有什么关系? 1AC2(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论? 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即 tanA=
?A的对边?A的邻边 .
议一议：梯子的倾斜程度与tanA有关系吗?
tanA的值越大，梯子越陡；反过来，梯子越陡，tanA的值越大.
例1如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
解：甲梯中， tanα=
??的对边??的邻边?5132?52?512.
乙梯中， tanβ=??的对边6??的邻边?38?4.
因为tanβ＞tanα，所以乙梯更陡.
正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度. 如图，有一山坡在水平方向上每前进100m，就升高60 m，那么山坡的坡度 (即tanα)就是 tanα=α
603100?5. 随堂练习
1.如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?
2.如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55 m，求山的坡度.(结果精确到0.001) 习题1.1
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，求tanA和tanB的值.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，tanA=512，求AC.
当Rt△ABC中的锐角A确定时，∠A的对边 与斜边的比也随之确定. 此时，其他边之间的比也确定吗？
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.
∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即
sinA＝
?A的对边斜边
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即
1
第一章 直角三角形的边角关系2
cosA=?A的邻边斜边
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.
想一想：前面的梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？
sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡
例2 如图在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的长. 解：在Rt△ABC中，
∵ sinA＝BCAC，
即sinA＝BCAC0.6，
∴BC＝200×0.6=120.
做一做：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝
1213，AC＝10，AB等于多少?sinB呢? 随堂练习：
1.在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB. 2.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，BC=20，求△ABC的周长和面积. 习题1.2
1.如图，分别求??和??的正弦、余弦和正切.
36? 中，AB=5，BC=13，AD是BC边上的高，AD=4，59 2.在△ABC求CD和sinC.
? 3. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD是中线，BC=8，CD=5， x 求sin∠ACD，cos∠ACD和tan∠ACD.
4. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，sinA与cosB有什么关系？
§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?
（1）sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. （2）cos30°等于多少?tan30°呢?
做一做（1）60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?（2）45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?（3）完成下表：
三角函数角 角? sinα coα tanα 30° 45° 60° 例1计算：(1)sin30°＋cos45°；(2)sin260°＋cos260°－tan45°. 解：(1)sin30°＋cos45°=
121?22?2?2； (2)sin260°＋cos2
60°-tan45°=
34＋14－1 = 0. 例2一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01 m).
解：如图，根据题意可知，
∠AOD＝
12×60°＝30°，OD=2.5 m， ∴OC=ODcos30°=2.5×
32≈2.165(m). ∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).
所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m. 随堂练习：
1.计算：(1)sin60°-tan45°；(2)cos60°+tan60°；
2
第一章 直角三角形的边角关系3 (3) 22sin45°+sin60°-2cos45°. 2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少? 习题1.3 1.计算：（1）tan45°-sin30°；(2)cos60°+ sin45°-tan30°； (3) 6sin2
30°-3sin60°-2cos45°.
A D 2.如图，河岸AD，BC互相平行，桥AB垂直于两岸，桥长12 m，在C处看桥两端A，B，夹角∠BCA=60°，求B，C间的距离(结果精确到1 m). 3.如图，身高1.75 m的小丽用一个两锐角分别B C 为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知它与树之间的距离为5 m，那么这棵树大约有多高？
§1.3 三角函数的有关计算
如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？
在Rt△ABC中,BC=ABsin16°.
你知道sin16°等于多少吗？我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.
怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢? 用科学计算器求三角函数值,要用到三个键:
ssiinn ccooss ttaann 例如：求sin16?，cos42?，tan85?和sin72?38?25??的按键顺序如下表所
示： 按键顺序 显示结果 sin16? sin 1 6 = sin16?=0.275 637 355 cos42? cos 4 2 = cos42?=0.743 144 825 tan85? tan 8 5 = tan85?=11.430 052 3 sin72?38?25?? sin 7 2 D’M’S 3 8 sin72?38?25??→ D’M’S 2 5 D’M’S = 0.954450312 对于本节一开始的问题,利用科学计算器可以求得:
BC=ABsin16°≈200×0.2756≈55.12.
想一想：对于本节一开始的问题中，当缆车继续从点B到达点D时,它又走过了200m.缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°,由此你还能计算什么?
随堂练习：
1.用计算器求下列各式的值:
(1)sin56°； (2) sin15o
49′； (3)cos20o
；(4)tan29o
；
(5)tan44o59/
59″； (6)sin15o＋cos61o＋tan76o .
2.一个人由山底爬到山顶,需先爬40 o的山坡300m,再爬30o
的山坡100m,求山高(结果精确到0.01m). 3.求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m). 习题1.4
1.用计算器求下列各式的值：
(1)tan32o
； (2)sin24.53o
； (3)sin62o
11′；
(4)tan39o39/
39″.
2.如图,物华大厦离小伟家60m,小伟从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶部仰角是45o
,而大厦底部的俯角是37o
,求该大厦的的高度(结果精确到0.1m).
为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建40m长的斜道. 这条斜道的倾斜角是多少?
在Rt△ABC中，sinA＝
BCAB?1040?14，那么∠A是多少度呢？ 要解决这个问题，我们可以借助于科学计算器.
3
第一章 直角三角形的边角关系4
已知三角函数求角度，要用到“sin”、“cos”、“tan”键的第二功能 “sin-1,cos-1,tan-1
”和2ndf键. 按键顺序 显示结果 sinA?0.9816 2ndf sin 0 . 9 18 1 6 = sin?0.9816=78.991 840 39 cosA?0.8607 2ndf cos 0 . 8 6 0 7 = cos?10.8607=30.604 730 07 tanA?0.1890 2ndf tan 0 . 1 8 9 0 = tan?10.1890=10.702 657 49 tanA?56.78 2ndf tan 5 6 . 7 8 = tan?156.78=88.991 020 49 上表的显示结果是以“度”为单位的.再按
键即可显示以“度、分、
秒”为单位的结果.
例1 如图，工件上有一V形槽.测得它的上口宽加20mm，深19.2mm。求V形角(∠ACB)的大小.(结果精确到1°)
解：tan∠ACD=
ADCD?1019.2≈0.520 8， ∴∠ACD≈27.5°，
∠ACB＝2∠ACD≈2×27.5°＝55°.
例2 如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保
证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角度，
解：如图，在Rt△ABC中，AC＝6.3 cm，BC=9.8 cm，
∴tanB=
ACBC?6.39.8≈0.642 9. ∴∠B≈32?44?13??.
因此，射线的入射角度约为32?44?13??.
随堂练习：
1.已知sin?＝0.829 04.求∠?的大小. 2.一梯子斜靠在一面墙上.已知梯长4m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m，求梯子与地面所成的锐角. 习题1.5
1.根据下列条件求锐角?的大小：
(1)tan?=2.988 8 ；(2)sin?=0.395 7
；(3)cos?=0.785 0；(4)tan?=0.897 2. 2.一辆汽车沿着一山坡行驶了1000m，其铅直高度上升了50 m．求山坡与水平面所成的锐角的大小．
3．图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，每个三角形都以点O为一顶点． （1）求∠A0OA1，∠A1OA2，∠A2OA3的大小； （2）已知∠An?1OAn是一个小于20o
的角，求n的值.
§1.4 船有触礁的危险吗
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流. 想一想：如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰
望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那
么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m) 做一做：某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的
楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0lm)
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第一章 直角三角形的边角关系5
随堂练习：
1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少? (结果精确到0.0lm)
2.如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD＝6 m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°. (1)求∠ABC的大小：
(2)如果坝长100m.那么建筑这个大坝共需多少
土石料?(结果精确到0.01m3
)
习题1.6 1.如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的高度为20m，求此斜坡的倾斜角.
2.有一座建筑物，在地面上A点测得其顶点C的仰角为
A B 30°.向建筑物前进50m到B点，又测得C的仰角为45°，求建筑物的高度（结果精确到0.1m）. C D 3.如图，燕尾槽的横断面是一个等腰梯形，其中燕尾角∠B=55°，外口宽AD=188mm，燕尾槽深度是70mm，求它的里口宽BC（结果精确到1mm）.
§1.5 测量物体的高度
活动课题：利用三角尺的边角关系测量物体的高度. 活动方式：分组活动、全班交流研讨. 活动工具：测倾器（或经纬仪、测角仪等）、皮尺等测量工具. 活动一：测量倾斜角.
测量倾斜角可以用测倾器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成（如图）.
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：
1.把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置.
2.转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数.
根据测量数据，你能求出目标M的仰角或俯角吗？说说你的理由. 活动二：测量底部可以到达的物体的高度. 所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离.如图1-18，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角?MCE??. 2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l .
3.量出测倾器的高度AC=a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）. 根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由.
活动三：测量底部不可以到达的物体的高度. 所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离.如图1-19，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
1.在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角?MCE??.
2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在一条直线上），测得此时M的仰角?MDE?? .
3.量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b. 根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由. 议一议：（1）到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法？ （2）如果一个物体的高度已知或容易测量，那如何测得某测点到该物体的水平距离？ 习题1.7
1.分组制作简单的测倾器.
2.选择一个底部可以到达的物体，测量它的高度，并撰写一份活动报告，阐明活动课题、测量示意图、测得数据和计算过程等.
3.选择一个底部不可以到达的物体，测量它的高度，并撰写一份活动报告.
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