坐标系与参数方程
1．在极坐标系中，过点?2，
?
π?且与极轴平行的直线方程是( ) 2?
π
C．ρcos θ＝2 D．ρsin θ＝2 2
A．ρ＝2 B．θ＝
解析 先将极坐标化成直角坐标表示，?2，
?
π?化为(0，2)，过(0，2)且平行于x轴的直线为y＝2，再化成极2?
坐标表示，即ρsin θ＝2.故选D. 答案 D
2．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－3)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________． 5π解析 依题意知，ρ＝23，θ＝－. 65π??答案 ?23，－? 6??
??x＝sinα，
3．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是?
?y＝cosα＋1?
(α为参数)，若以O为极点，x轴的
正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为________． 解析 依题意知，曲线C：x＋(y－1)＝1， 即x＋y－2y＝0，
所以(ρcosθ)＋(ρsinθ)－2ρsinθ＝0. 化简得ρ＝2sinθ. 答案 ρ＝2sinθ
4．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
解析 将ρ＝2sinθ＋4cosθ两边同乘以ρ得ρ＝2ρsinθ＋4ρcosθ， ∴曲线的直角坐标方程为x＋y＝2y＋4x， 即x＋y－4x－2y＝0. 答案 x＋y－4x－2y＝0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?π??π?5．在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为?3，?，?4，?，则△AOB(其中O为极点)的面积为
3??6??
________．
1π?ππ?1
解析 由题意得S△AOB＝×3×4×sin?－?＝×3×4×sin＝3.
26?36?2答案 3
?x＝2cost，
6．已知曲线C：?
?y＝2sint
(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点，x轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．
解析 曲线C的普通方程为x＋y＝2，由圆的几何性质知，切线l与圆心(0,0)与(1,1)的连线垂直，故l的斜率为－1，从而l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y＝2，化成极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2，π??化简得ρsin?θ＋?＝2. 4??π??答案 ρsin?θ＋?＝2 4??
?x＝ t，?
7．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?(t为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极
??y＝2t
2
2
轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0.则l与C的交点直角坐标为________． 解析 曲线C的普通方程为y＝2x(x≥0)，直线l的直角坐标方程是y＝x＋1，二者联立，求出交点坐标． 答案 (1，2)
8．在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a的值为________． 答案 2
??x＝2t＋2a，
13．在平面直角坐标系下，曲线C1：?(t为参数)，
?y＝－t?
??x＝2sin θ，
曲线C2：?(θ为参数)，若曲线C1，C2有公共点，则实数a的取值范围是________．
y＝1＋2cos θ??
2
解析 曲线C1的直角坐标方程为x＋2y－2a＝0，
曲线C2的直角坐标方程为x＋(y－1)＝4，圆心为(0，1)，半径为2， 若曲线C1，C2有公共点， 则有圆心到直线的距离即|a－1|≤5， ∴1－5≤a≤1＋5，
即实数a的取值范围是[1－5，1＋5]． 答案 [1－5，1＋5]
|2－2a|
≤2， 1＋22
2
2
?x＝2cos t，
14．已知曲线C的参数方程为?(t为参数)，曲线C在点(1，1)处的切线为l，以坐标原点为极点，
?y＝2sin t
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．
??x＝－2＋cos θ，y
15．已知点P(x，y)在曲线?(θ为参数，θ∈R)上，则的取值范围是________．
x?y＝sin θ?解析 消去参数θ得曲线的标准方程为(x＋2)＋y＝1， 圆心为(－2，0)，半径为1. y
设＝k，则直线y＝kx， x
即kx－y＝0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d＝即|2k|＝k2＋1，平方得
13222
4k＝k＋1，k＝，解得k＝±，
33由图形知k的取值范围是－
33
≤k≤， 33
|－2k|k2＋1
＝1，
2
2
y33??即的取值范围是?－，?.
x3??3答案 ?－
?
?33?，? 33?
?x＝2＋2cos θ，?
16．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是?(θ为参数)．
?y＝2sin θ?
(1)将C1的方程化为普通方程；
π
(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C2的极坐标方程是θ＝，求曲线C1与C2的交点
3的极坐标．
解 (1)C1的普通方程为(x－2)＋y＝4. (2)设C1的圆心为A，∵原点O在圆上， 设C1与C2相交于O，B，取线段OB的中点C， ∵直线OB倾斜角为
π
，OA＝2， 3
2
2
∴OC＝1，从而OB＝2，
∴O，B的极坐标分别为O(0，0)，B?2，
?
π?. 3?
???x＝－2＋cos t，?x＝4cos θ，
17．已知曲线C1：?(t为参数)，C2：?(θ为参数)．
y＝1＋sin ty＝3sin θ????
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)过曲线C2的左顶点且倾斜角为
π
的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|的值． 4
18．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsinθ＝2acos θ(a>0)，2
?x＝－2＋t，?2
已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为：?(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N2
y＝－4＋t??2两点．
(1)写出曲线C和直线l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值． 解 (1)y＝2ax，y＝x－2.
2
?x＝－2＋t，?2
(2)直线l的参数方程为?(t为参数)，
2
y＝－4＋t??2
代入y＝2ax，得到t－22(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，则有t1＋t2＝22(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)， ∵|MN|＝|PM|·|PN|，
∴(t1－t2)＝(t1＋t2)－4t1·t2＝t1·t2， 即a＋3a－4＝0.解得a＝1或a＝－4(舍去)．
2
2
2
22
2
2
2
19．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为
?x＝3cosα＋sinα
?
?y＝23sinαcosα－2sin2α＋2
(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为
π?2?极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin?θ＋?＝t(t为参数)． 4?2?
(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；
