多自由度线性体系Wilson-θ法程序编写
【摘要】本文主要介绍了通过使用Matlab软件，Wilson-θ法编写多自由度线性
体系的程序的原理、流程图、具体算例以及使用注意事项。通过该程序可以得到剪切型结构在任意函数荷载作用下各质点的位移函数。
【关键词】Matlab；多自由度；Wilson-θ法
1.wilson-?法原理
wilson-?法中最主要的步骤就是推导由t时刻的状态求t??t时刻的状态的递推公
式，现推导如下：
对?积分
??t???????t???yy??t???y
? ???t
解出
?y?t??
代入
2(??t)2??t???t???t?2????t)?y?t???t??y?t???t?y(??yy666??t???t???t?2????t???????yy(y?y)?yt???tt2(??t)??t3??t??t???t???t???t?y??(?y?t???t??y?t)?2?yy??t2????C??y????k??y???P??m???y??t???t??C??y??t???t??k??y?t???t??P?t???t?m???y?P?t???t??P?t??(?P?t??t??P?t)1??t???t??y??t???t????t???t(????t???t?????t)?yyyy???t???t?????t)(??yy??t?2??t?????t????t???t?????t)??yy(??yy2??t?2?3??t??????t???t???t?????t)??y?t??yy(??yy26??t
整理，得 k?y?t???t?R
6其中 k??k???????m??23?c?(??t)??t
3??t ?R???P?t??(?P?t??t??P?t)??m?(62?y?t?6?y??t?2????t)??c?(??t???t)?y?t?2?y??yy??t??t2(??t)
??本程序的核心就是对以上公式的循环使用。
多自由度线性体系Wilson-θ法程序编写
2.程序流程图
开始输入自由度dA求出各常数值输入各点质量、各层层间刚度?k???k??a?m??a?c?01For I=1 to n组成质量阵、刚度阵计算t时刻的拟荷载?R???P???(?P?ii判断是否存在阻尼NY阻尼阵[C]=[0]??P?i)??i?2????i)??m?(a0?y?i?a2?yy??i?a3????i)??c?(a1?y?i?2?yyi?1计算t+θΔt时刻的位移输入阻尼阵?k??ys???R?ii输入初始位移、初始速度、Δt、θ、所需计算时间Tj求出所需计算时间点个数n=Tj/Δt-1用inline语句依次输入作用在各质点上的荷载函数计算t+Δt时刻的位移、速度、加速度??i?1?a4(?ys?i??y?i)?a5?y??i?a6????i??yy??i?1??y??i?a7(????i?1?????i)?yyy??i?t?a8(????i?1?2????i)?y?i?1??y?i??yyyI定义向量t，t（i)=i*Δt组成荷载阵[P]输出各质点位移y关于时间t的图像求出初始加速度A
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结束多自由度线性体系Wilson-θ法程序编写
3.具体应用算例
如图所示，两自由度框架结构，其中
m1?m2?10200kg
??11.451/sk1?3000kN/mk2?2000kN/mP?0.217kN初始静止，求各层位移。
将相应的数据输入到程序中，得出各层位移关于时间的图像。图1为第一层，图2为第二层。
将所得数值解与精确解相比较，图中实线为数值解，虚线为精确解。
由两张图，我们可以看出数值解大致是与精确相近的，但是仍然有些许的不同，这可能是算法中仍然有缺陷，说明程序仍然有待改善。
图1
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多自由度线性体系Wilson-θ法程序编写
4.程序使用注意事项
（1）本程序针对于剪切型刚架结构，对于其他结构无法使用。 （2）本程序中各质点的荷载必须是函数的形式（包括常数），即对于只有某些点的荷载无法使用，且荷载函数输入时，必须采用inline语句。例如荷载为常数10，则输入inline（’10’）； 如荷载函数为sin（at），则输入inline（’sin(a*t)’,’t’）。
（3）本程序主要针对无阻尼情况，若有阻尼，只需输入阻尼矩阵即可。 （4）θ的值应大于1.37，通常取1.4，优化值为1.420815。
（5）从第一层开始为m1，m2…… 【参考文献】
[1] 王焕定. 结构力学（第3版）[M]. 北京：高等教育出版社，2010. [2] Anil K.Chopra. 结构动力学理论及其在地震工程中的应用（第2版）[M]. 北京：高等教育出版社，2007.
图2
4
