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13. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC=3DE=3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP=_______.
A P(C) D
E
B F C
（第13题）
【考点】矩形的性质、图形的变换（折叠）、30°度角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理.
【分析】根据折叠的性质，知EC=EP＝2a=2DE；则∠DPE=30°，∠DEP=60°，得出∠PEF=∠CEF=(180°-60°)= 60°，从而∠PFE=30°，得出EF=2EP=4a，再勾股定理，得 出FP的长.
【解答】解：∵DC=3DE=3a，∴DE=a，EC=2a.
根据折叠的性质，EC=EP＝2a；∠PEF=∠CEF，∠ EPF=∠C=90°. 根据矩形的性质，∠D=90°，
在Rt△DPE中，EP=2DE=2a，∴∠DPE=30°，∠DEP=60°.
∴∠PEF=∠CEF=(180°-60°)= 60°.
∴在Rt△EPF中，∠PFE=30°. ∴EF=2EP=4a
在Rt△EPF中，∠EPF=90°，EP＝2a，EF＝4a， ∴根据勾股定理，得 FP=
故答案为：3a
14. 如图，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB=2，BC=1. 连接AI，交FG于点Q，则QI=_____________. A D F H
Q
B C E G I
（第14题）
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1212EF2?EP2=3a.
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【考点】相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质.
1【分析】过点A作AM⊥BC. 根据等腰三角形的性质，得到MC=12BC=2，从而
MI=MC+CE+EG+GI=7计算出AM和AI的值；根据等腰三角2.再根据勾股定理，
GI形的性质得出角相等，从而证明AC∥GQ，则△IAC∽△IQG，故QIAI=CI，可计
算出QI=43.
[来源:Z&xx&k.Com]
A D F H
Q
B M C E G I 【解答】解：过点A作AM⊥BC.
1根据等腰三角形的性质，得 MC=12BC=2.
∴MI=MC+CE+EG+GI=72.
[来源学科网ZXXK]
215在Rt△AMC中，AM2=AC2-MC2= 22-（12）=4.
2AI=
AM2?MI=
2154?(7)=4. 2易证AC∥GQ，则△IAC∽△IQG
GI∴QIAI=CI 1即QI4=3
∴QI=43.
故答案为：43.
三、解答题（共78分）
?115. （满分5分）解不等式x2≥3(x-1)-4
【考点】一元一次不等式的解法.
【分析】根据一元一次不等式的解法，先去分母，再去括号，移项、合并同类项，
把x的系数化为1即可．
;.
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【解答】解：去分母，得 x+1≥6(x-1)-8 …………………………….2分
去括号，得x+1≥6x-14 ……………………………….3分 ∴-5x≥-15x …………………………………………….4分
∴x≤3. ………………………………………………….5分
16. （满分6分）在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？ 【考点】运用一元一次方程解决实际问题. 【分析】根据“七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇” 设八年级收到的征文有x篇，则七年级收到的征文有（x-2）篇；根据“七年级和八年级共收到征文118篇”列方程，解出方程即可.
【解答】解：设八年级收到的征文有x篇，则七年级收到的征文有（x-2）篇，依题意知
(x-2)+x=118. …………………………………………….3分 解得 x=80. ………………………………………………4分 则118-80=38. ……………………………………………5分 答：七年级收到的征文有38篇. …………………………6分
17. （满分7分）如图，在 ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H. 求证：AG=CH
A E D G
H
B F C
（第17题）
【考点】平行四边形的判定和性质、三角形全等的判定和性质.
【分析】要证明边相等，考虑运用三角形全等来证明。根据E，F分别是AD，BC的中点，得出AE=DE=AD，CF=BF=BC；运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形BEDF是平行四边形，从而得到∠BED=∠DFB，再运用等角的补角相等得到∠AEG=∠DFC；最后运用ASA证明△AGE≌△CHF，从而证得AG=CH.
【解答】证明：∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=DE=AD，CF=BF=BC. ………………………………….1分 又∵AD∥BC，且AD=BC. ∴ DE∥BF，且DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形. ∴∠BED=∠DFB.
∴∠AEG=∠DFC. ………………………………………………5分 又∵AD∥BC， ∴∠EAG=∠FCH.
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在△AGE和△CHF中
∠AEG=∠DFC AE=CF
∠EAG=∠FCH ∴△AGE≌△CHF. ∴AG=CH
18. （满分6分）小明、小林是三河中学九年级的同班同学。在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并被编入A，B，C三个班，他俩希望能两次成为同班同学。
（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果； （2）求两人两次成为同班同学的概率。 【考点】列举法与树状图法，概率.
【分析】（1）利用画树状图法或列举法列出所有可能的结果，注意不重不漏的表示出所有结果；
（2）由（1）知，两人分到同一个班的可能情形有AA，BB，CC三种，除以总
的情况（9种）即可求出两人两次成为同班同学的概率.
【解答】解：（1）小明 A B C
小林 A B C A B C A B C
………………………………………………………3分
（2）其中两人分到同一个班的可能情形有AA，BB，CC三种
3 ∴P=9=13. ………………………………………………………6分
19. （满分8分） 如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C. 过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC. 求证： （1）∠PBC =∠CBD;
（2）BC2=AB·BD D C
P A O B
（第19题）
【考点】切线的性质，相似三角形的判定和性质.
【分析】（1）连接OC，运用切线的性质，可得出∠OCD=90°，从而证明OC∥BD，得到∠CBD=∠OCB，再根据半径相等得出∠OCB=∠PBC，等量代换得到∠PBC =∠CBD.
（2）连接AC. 要得到BC2=AB·BD，需证明△ABC∽△CBD，故从证
明∠ACB=∠BDC，∠PBC=∠CBD入手.
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